Question Number 205101 by universe last updated on 08/Mar/24
$$\:\:\mathrm{given}\:\mathrm{that}\:\mathrm{there}\:\mathrm{are}\:\mathrm{real}\:\mathrm{constant}\:\mathrm{a},\mathrm{b},\:\mathrm{c},\:\mathrm{d} \\ $$$$\:\:\mathrm{such}\:\mathrm{the}\:\mathrm{identity} \\ $$$$\:\lambda\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2xy}+\mathrm{y}^{\mathrm{2}} =\:\left(\mathrm{ax}+\mathrm{by}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{cx}+\mathrm{dy}\right)^{\mathrm{2}} \:\mathrm{holds} \\ $$$$\:\mathrm{for}\:\mathrm{all}\:\mathrm{x},\mathrm{y}\:\in\:\mathbb{R}\:\mathrm{this}\:\mathrm{implies} \\ $$$$\left({a}\right)\:\lambda=−\mathrm{5}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left({b}\right)\:\lambda\geqslant\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left({c}\right)\mathrm{0}<\lambda<\mathrm{1} \\ $$$$\:\left({d}\right)\:\mathrm{there}\:\mathrm{is}\:\mathrm{no}\:\mathrm{such}\:\lambda\in\mathbb{R} \\ $$
Answered by A5T last updated on 08/Mar/24
$$\lambda{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{xy}+{y}^{\mathrm{2}} \\ $$$$=\left({a}^{\mathrm{2}} +{c}^{\mathrm{2}} \right){x}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{2}{ab}+\mathrm{2}{cd}\right){xy}+\left({b}^{\mathrm{2}} +{d}^{\mathrm{2}} \right){y}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow{b}^{\mathrm{2}} +{d}^{\mathrm{2}} =\mathrm{1};{ab}+{cd}=\mathrm{1}\leqslant\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} +{c}^{\mathrm{2}} }\sqrt{{b}^{\mathrm{2}} +{d}^{\mathrm{2}} }=\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} +{c}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\Rightarrow\lambda={a}^{\mathrm{2}} +{c}^{\mathrm{2}} \geqslant\mathrm{1}\Rightarrow\left({b}\right) \\ $$
Commented by universe last updated on 08/Mar/24
$${thank}\:{u}\:{so}\:{much}\:{sir}\: \\ $$