Question Number 205156 by depressiveshrek last updated on 11/Mar/24
$$\mathrm{Find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{determinant}: \\ $$$$\begin{vmatrix}{\mathrm{5}}&{\mathrm{3}}&{\mathrm{0}}&{\mathrm{0}}&{\ldots}&{\mathrm{0}}&{\mathrm{0}}\\{\mathrm{2}}&{\mathrm{5}}&{\mathrm{3}}&{\mathrm{0}}&{\ldots}&{\mathrm{0}}&{\mathrm{0}}\\{\mathrm{0}}&{\mathrm{2}}&{\mathrm{5}}&{\mathrm{3}}&{\ldots}&{\mathrm{0}}&{\mathrm{0}}\\{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}&{\vdots}\\{\mathrm{0}}&{\mathrm{0}}&{\mathrm{0}}&{\mathrm{0}}&{\ldots}&{\mathrm{5}}&{\mathrm{3}}\\{\mathrm{0}}&{\mathrm{0}}&{\mathrm{0}}&{\mathrm{0}}&{\ldots}&{\mathrm{2}}&{\mathrm{5}}\end{vmatrix} \\ $$
Answered by pi314 last updated on 11/Mar/24
$$\Delta_{{n}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{5}\:\mathrm{3}\:\:\:\mathrm{0}\:\mathrm{0}……\mathrm{0}\:\mathrm{0}}\\{\mathrm{2}\:\:\mathrm{5}\:\:\mathrm{3}\:\mathrm{0}……\mathrm{0}\:\mathrm{0}}\\{\mathrm{0}\:\:\mathrm{2}\:\:\mathrm{5}\:\mathrm{3}……\mathrm{0}\:\:\mathrm{0}}\\{………………\mathrm{5}\:\mathrm{3}}\\{\mathrm{0}\:\mathrm{0}\:\mathrm{0}\:\:\mathrm{0}…….\:\mathrm{2}\:\mathrm{5}}\end{vmatrix} \\ $$$$\Delta_{{n}} =\:\mathrm{5}.\Delta_{{n}−\mathrm{1}} −\mathrm{2}.\mathrm{3}\Delta_{{n}−\mathrm{2}} \\ $$$$\Delta_{{n}} =\mathrm{5}\Delta_{{n}−\mathrm{1}} −\mathrm{6}\Delta_{{n}−\mathrm{2}} \\ $$$$\Delta_{\mathrm{2}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{5}\:\:\:\:\mathrm{3}}\\{\mathrm{2}\:\:\:\:\mathrm{5}}\end{vmatrix}=\mathrm{19} \\ $$$$\Delta_{\mathrm{1}} =\mathrm{5} \\ $$$$\Delta_{\mathrm{3}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{5}\:\:\mathrm{3}\:\:\mathrm{0}}\\{\mathrm{2}\:\:\mathrm{5}\:\:\mathrm{3}}\\{\mathrm{0}\:\:\mathrm{2}\:\:\mathrm{5}}\\{}\end{vmatrix}=\mathrm{5}\mid\mathrm{19}\mid−\mathrm{30}=\mathrm{65} \\ $$$${X}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}{X}+\mathrm{6}=\mathrm{0}\Rightarrow\left({X}−\mathrm{3}\right)\left({X}−\mathrm{2}\right)=\mathrm{0};{X}\in\left\{\mathrm{2},\mathrm{3}\right\} \\ $$$$\Delta_{{n}} ={a}\left(\mathrm{2}\right)^{{n}} +{b}\left(\mathrm{3}^{{n}} \right) \\ $$$$\mathrm{4}{a}+\mathrm{9}{b}=\mathrm{19};\mathrm{2}{a}+\mathrm{3}{b}=\mathrm{5} \\ $$$$\mathrm{3}{b}+\mathrm{10}=\mathrm{19}\Rightarrow{b}=\mathrm{3};{a}=−\mathrm{2} \\ $$$$\Delta_{{n}} =−\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} +\mathrm{3}^{{n}+\mathrm{1}} ;\Delta_{\mathrm{3}} =−\left(\mathrm{2}\right)^{\mathrm{4}} +\left(\mathrm{3}\right)^{\mathrm{4}} =\mathrm{81}−\mathrm{16}=\mathrm{65} \\ $$$$\Delta_{\mathrm{4}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{5}\:\:\:\mathrm{3}\:\:\mathrm{0}\:\:\:\:\mathrm{0}}\\{\mathrm{2}\:\:\:\mathrm{5}\:\:\mathrm{3}\:\:\:\:\mathrm{0}}\\{\mathrm{0}\:\:\:\mathrm{2}\:\:\mathrm{5}\:\:\:\:\mathrm{3}}\\{\mathrm{0}\:\:\:\mathrm{0}\:\mathrm{2}\:\:\:\:\:\mathrm{5}}\end{vmatrix}=\mathrm{5}.\mathrm{65}−\mathrm{6}.\mathrm{19}=\mathrm{211}=−\left(\mathrm{2}\right)^{\mathrm{5}} +\mathrm{3}^{\mathrm{5}} ..{True} \\ $$$$\Delta_{{n}} =−\left(\mathrm{2}\right)^{{n}+\mathrm{1}} +\left(\mathrm{3}\right)^{{n}+\mathrm{1}} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$