Question Number 205164 by depressiveshrek last updated on 11/Mar/24
$$\mathrm{Find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{determinant}: \\ $$$$\begin{vmatrix}{\mathrm{1}−{x}}&{\mathrm{2}}&{\mathrm{3}}&{\ldots}&{{n}}\\{\mathrm{1}}&{\mathrm{2}−{x}}&{\mathrm{3}}&{\ldots}&{{n}}\\{\mathrm{1}}&{\mathrm{2}}&{\mathrm{3}−{x}}&{\ldots}&{{n}}\\{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\{\mathrm{1}}&{\mathrm{2}}&{\mathrm{3}}&{\ldots}&{{n}−{x}}\end{vmatrix} \\ $$
Answered by aleks041103 last updated on 12/Mar/24
$${By}\:{subtracting}\:{the}\:{first}\:{row}\:{from}\:{all}\:{other} \\ $$$$\begin{vmatrix}{\mathrm{1}−{x}}&{\mathrm{2}}&{\mathrm{3}}&{\ldots}&{{n}}\\{\mathrm{1}}&{\mathrm{2}−{x}}&{\mathrm{3}}&{\ldots}&{{n}}\\{\mathrm{1}}&{\mathrm{2}}&{\mathrm{3}−{x}}&{\ldots}&{{n}}\\{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\{\mathrm{1}}&{\mathrm{2}}&{\mathrm{3}}&{\ldots}&{{n}−{x}}\end{vmatrix}= \\ $$$$=\begin{vmatrix}{\mathrm{1}−{x}}&{\mathrm{2}}&{\mathrm{3}}&{\ldots}&{{n}}\\{{x}}&{−{x}}&{\mathrm{0}}&{\ldots}&{\mathrm{0}}\\{{x}}&{\mathrm{0}}&{−{x}}&{\ldots}&{\mathrm{0}}\\{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\{{x}}&{\mathrm{0}}&{\mathrm{0}}&{\ldots}&{−{x}}\end{vmatrix} \\ $$$$\begin{vmatrix}{{a}_{\mathrm{0}} }&{{b}_{\mathrm{1}} }&{{b}_{\mathrm{2}} }&{\ldots}&{{b}_{{n}} }\\{{c}_{\mathrm{1}} }&{{a}_{\mathrm{1}} }&{\mathrm{0}}&{\ldots}&{\mathrm{0}}\\{{c}_{\mathrm{2}} }&{\mathrm{0}}&{{a}_{\mathrm{2}} }&{\ldots}&{\mathrm{0}}\\{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\{{c}_{{n}} }&{\mathrm{0}}&{\mathrm{0}}&{\ldots}&{{a}_{{n}} }\end{vmatrix}= \\ $$$$={a}_{\mathrm{0}} {a}_{\mathrm{1}} …{a}_{{n}} −{c}_{\mathrm{1}} {b}_{\mathrm{1}} {a}_{\mathrm{2}} …{a}_{{n}} −{c}_{\mathrm{2}} {b}_{\mathrm{2}} {a}_{\mathrm{1}} {a}_{\mathrm{3}} …{a}_{{n}} −…= \\ $$$$={a}_{\mathrm{0}} {a}_{\mathrm{1}} …{a}_{{n}} −\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}{b}_{{k}} {c}_{{k}} \underset{{s}\neq{k}} {\prod}{a}_{{s}} \\ $$$$\Rightarrow\begin{vmatrix}{\mathrm{1}−{x}}&{\mathrm{2}}&{\mathrm{3}}&{\ldots}&{{n}}\\{{x}}&{−{x}}&{\mathrm{0}}&{\ldots}&{\mathrm{0}}\\{{x}}&{\mathrm{0}}&{−{x}}&{\ldots}&{\mathrm{0}}\\{\vdots}&{\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\{{x}}&{\mathrm{0}}&{\mathrm{0}}&{\ldots}&{−{x}}\end{vmatrix}= \\ $$$$=\left(\mathrm{1}−{x}\right)\left(−{x}\right)^{{n}−\mathrm{1}} −\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}\left({k}+\mathrm{1}\right){x}\left(−{x}\right)^{{n}−\mathrm{2}} = \\ $$$$=\left(\mathrm{1}−{x}+\underset{{k}=\mathrm{2}} {\overset{{n}} {\sum}}{k}\right)\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−\mathrm{1}} {x}^{{n}−\mathrm{1}} = \\ $$$$=\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \left({x}−\frac{{n}\left({n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}\right){x}^{{n}−\mathrm{1}} \\ $$