Question Number 205324 by hardmath last updated on 16/Mar/24
$$\mathrm{Compare}: \\ $$$$\mathrm{37}^{\mathrm{37}} \:\:\:\mathrm{and}\:\:\:\mathrm{36}^{\mathrm{38}} \\ $$
Answered by nikif99 last updated on 16/Mar/24
$$\mathrm{37}^{\mathrm{37}} \:\lessgtr\:\mathrm{36}^{\mathrm{38}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{37}^{\mathrm{36}} ×\mathrm{37}\:\lessgtr\:\mathrm{36}^{\mathrm{36}} ×\mathrm{36}^{\mathrm{2}} \:\Rightarrow \\ $$$$\frac{\mathrm{37}^{\mathrm{36}} }{\mathrm{36}^{\mathrm{36}} }\:\lessgtr\:\frac{\mathrm{36}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{37}}\:\Rightarrow \\ $$$$\left(\frac{\mathrm{37}}{\mathrm{36}}\right)^{\mathrm{36}} \:\lessgtr\:\frac{\mathrm{36}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{37}}\:\Rightarrow \\ $$$$\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{36}}\right)^{\mathrm{36}} \:\lessgtr\:\frac{\mathrm{36}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{37}}\:\Rightarrow \\ $$$${e}\:<\:\frac{\mathrm{36}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{37}} \\ $$
Answered by Frix last updated on 16/Mar/24
$${n}\in\mathbb{N} \\ $$$$\mathrm{1}\leqslant{n}\leqslant\mathrm{4}:\:{n}^{{n}} >\left({n}−\mathrm{1}\right)^{{n}+\mathrm{1}} \\ $$$${n}\geqslant\mathrm{5}:\:{n}^{{n}} <\left({n}−\mathrm{1}\right)^{{n}+\mathrm{1}} \\ $$
Answered by Berbere last updated on 17/Mar/24
$$\Leftrightarrow\:\mathrm{37}{ln}\left(\mathrm{37}\right)\:{and}\:\mathrm{38}{ln}\left(\mathrm{36}\right) \\ $$$${x}=\mathrm{36};{claim} \\ $$$$\left({x}+\mathrm{1}\right){ln}\left({x}+\mathrm{1}\right)\leqslant\left({x}+\mathrm{2}\right){ln}\left({x}\right) \\ $$$$\Leftrightarrow\left({x}+\mathrm{1}\right)\left({ln}\left({x}\right)+{ln}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)\right)\leqslant\left({x}+\mathrm{2}\right){ln}\left({x}\right) \\ $$$$\Leftrightarrow\left({x}+\mathrm{1}\right){ln}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)\leqslant{ln}\left({x}\right) \\ $$$${ln}\left(\mathrm{1}+{a}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{{a}} \frac{\mathrm{1}}{{t}+\mathrm{1}}{dt}\leqslant\int_{\mathrm{0}} ^{{a}} {dt}={a} \\ $$$$\Rightarrow{ln}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)\leqslant\frac{\mathrm{1}}{{x}}\Rightarrow\left({x}+\mathrm{1}\right){ln}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)\leqslant\left({x}+\mathrm{1}\right).\frac{\mathrm{1}}{{x}}=\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}\leqslant\mathrm{2} \\ $$$$\forall{x}\geqslant\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}\leqslant{ln}\left({x}\right);\forall{x}\geqslant{e}^{\mathrm{2}} ;{e}^{\mathrm{2}} <\mathrm{36} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{37}^{\mathrm{37}} \leqslant\mathrm{36}^{\mathrm{38}} \\ $$$$ \\ $$
Commented by hardmath last updated on 18/Mar/24
$$\mathrm{cool}\:\mathrm{dear}\:\mathrm{professors}\:\mathrm{thank}\:\mathrm{you} \\ $$