Question Number 205338 by cortano12 last updated on 17/Mar/24
Answered by mr W last updated on 17/Mar/24
$${x}\geqslant−\mathrm{2},\:{y}\geqslant−\mathrm{3} \\ $$$${x}+\mathrm{2}−\mathrm{4}\sqrt{{x}+\mathrm{2}}+\mathrm{4}+{y}+\mathrm{3}−\mathrm{4}\sqrt{{y}+\mathrm{3}}+\mathrm{4}=\mathrm{13} \\ $$$$\left(\sqrt{{x}+\mathrm{2}}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\sqrt{{y}+\mathrm{3}}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} =\left(\sqrt{\mathrm{13}}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\sqrt{{x}+\mathrm{2}}−\mathrm{2}=\sqrt{\mathrm{13}}\:\mathrm{cos}\:\theta \\ $$$$\sqrt{{y}+\mathrm{3}}−\mathrm{2}=\sqrt{\mathrm{13}}\:\mathrm{sin}\:\theta \\ $$$$\Rightarrow{x}=\left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{13}}\:\mathrm{cos}\:\theta\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}=\mathrm{2}+\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{13}}\:\mathrm{cos}\:\theta+\mathrm{13}\:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \:\theta \\ $$$$\Rightarrow{y}=\left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{13}}\:\mathrm{sin}\:\theta\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}=\mathrm{1}+\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{13}}\:\mathrm{sin}\:\theta+\mathrm{13}\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:\theta \\ $$$${x}+{y}=\mathrm{16}+\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{13}}\left(\mathrm{cos}\:\theta+\mathrm{sin}\:\theta\right) \\ $$$${x}+{y}=\mathrm{16}+\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{26}}\:\mathrm{sin}\:\left(\theta+\frac{\pi}{\mathrm{4}}\right) \\ $$$$\Rightarrow\left({x}+{y}\right)_{{max}} =\mathrm{16}+\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{26}}\:\checkmark \\ $$$${at}\:{x}=−\mathrm{2}:\: \\ $$$$\left(\sqrt{{y}+\mathrm{3}}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{13}−\left(−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{9} \\ $$$$\sqrt{{y}+\mathrm{3}}−\mathrm{2}=\mathrm{3} \\ $$$${y}=\mathrm{22} \\ $$$$\Rightarrow{x}+{y}=−\mathrm{2}+\mathrm{22}=\mathrm{20} \\ $$$${at}\:{y}=−\mathrm{3}: \\ $$$$\left(\sqrt{{x}+\mathrm{2}}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{13}−\left(−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{9} \\ $$$$\sqrt{{x}+\mathrm{2}}−\mathrm{2}=\mathrm{3} \\ $$$${x}=\mathrm{23} \\ $$$$\Rightarrow{x}+{y}=\mathrm{23}−\mathrm{3}=\mathrm{20} \\ $$$$\Rightarrow\left({x}+{y}\right)_{{min}} =\mathrm{20}\:\checkmark \\ $$
Answered by A5T last updated on 17/Mar/24
$${Another}\:{method}\:{to}\:{get}\:\left({x}+{y}\right)_{{max}} : \\ $$$$\frac{{a}+{b}}{\mathrm{2}}\geqslant\left(\frac{\sqrt{{a}}+\sqrt{{b}}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} \Rightarrow\frac{{x}+\mathrm{2}+{y}+\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\geqslant\left(\frac{\sqrt{{x}+\mathrm{2}}+\sqrt{{y}+\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\left(\frac{{x}+{y}}{\mathrm{8}}\right)^{\mathrm{2}} \leqslant\frac{{x}+{y}+\mathrm{5}}{\mathrm{2}};\:{x}+{y}={p}\Rightarrow\frac{{p}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{32}}\leqslant{p}+\mathrm{5} \\ $$$$\Rightarrow{p}^{\mathrm{2}} −\mathrm{32}{p}−\mathrm{160}\leqslant\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{16}−\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{26}}\leqslant{x}+{y}\leqslant\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{26}}+\mathrm{16} \\ $$$${Equality}\:{when}\:{x}+\mathrm{2}={y}+\mathrm{3}\Rightarrow\:{x}=\mathrm{1}+{y} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{1}+\mathrm{2}{y}=+\mathrm{8}\sqrt{{y}+\mathrm{3}}\:\Rightarrow{y}=\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{26}}+\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{2}}\Rightarrow{x}=\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{26}}+\frac{\mathrm{17}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\left({x},{y}\right)=\left(\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{26}}+\frac{\mathrm{17}}{\mathrm{2}},\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{26}}+\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{2}}\right)\:{at}\:{x}+{y}=\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{26}}+\mathrm{16} \\ $$