Question Number 205422 by hardmath last updated on 20/Mar/24
$$\mathrm{If} \\ $$$$\left(\mathrm{a}\:+\:\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{b}\:+\:\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{c}\:+\:\mathrm{1}\right)\:=\:\mathrm{8} \\ $$$$\mathrm{Then}: \\ $$$$\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{c}^{\mathrm{2}} \:\geqslant\:\mathrm{3} \\ $$
Answered by A5T last updated on 20/Mar/24
$${a}+\mathrm{1}+{b}+\mathrm{1}+{c}+\mathrm{1}\geqslant\mathrm{3}\sqrt[{\mathrm{3}}]{\left({a}+\mathrm{1}\right)\left({b}+\mathrm{1}\right)\left({c}+\mathrm{1}\right)}=\mathrm{6} \\ $$$$\Rightarrow{a}+{b}+{c}\geqslant\mathrm{3} \\ $$$$\sqrt{\mathrm{3}}\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} +{c}^{\mathrm{2}} }\geqslant{a}+{b}+{c}\Rightarrow{a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} +{c}^{\mathrm{2}} \geqslant\mathrm{3} \\ $$