Question Number 205423 by hardmath last updated on 20/Mar/24
$$\mathrm{If} \\ $$$$\mathrm{a}\:,\:\mathrm{b}\:\in\:\mathbb{R} \\ $$$$\mathrm{Then}: \\ $$$$\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \:\geqslant\:\mathrm{ab}\:+\:\sqrt{\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{4}} \:+\:\mathrm{b}^{\mathrm{4}} }{\mathrm{2}}} \\ $$
Answered by Berbere last updated on 21/Mar/24
$$\Leftrightarrow\left({a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} −{ab}\right)^{\mathrm{2}} \geqslant\frac{{a}^{\mathrm{4}} +{b}^{\mathrm{4}} }{\mathrm{2}} \\ $$$$\Leftrightarrow\frac{{a}^{\mathrm{4}} +{b}^{\mathrm{4}} }{\mathrm{2}}+\mathrm{3}{a}^{\mathrm{2}} {b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{ab}\left({a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} \right)\geqslant\mathrm{0} \\ $$$${a}^{\mathrm{4}} +{b}^{\mathrm{4}} =\left({a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{a}^{\mathrm{2}} {b}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\Leftrightarrow\frac{\left({a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{a}^{\mathrm{2}} {b}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}+\mathrm{3}{a}^{\mathrm{2}} {b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{ab}\left({a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} \right)\geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\left({a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{2}{ab}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left(\mathrm{2}{ab}\right)\left({a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} \right)\geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\left({a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{ab}\right)^{\mathrm{2}} \geqslant\mathrm{0}{True} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$
Commented by Skabetix last updated on 22/Mar/24
$$\mathrm{comment}\:\mathrm{passer}\:\mathrm{de}\: \\ $$$$\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{ab}\right)^{\mathrm{2}} \:\geqslant\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{4}} +\mathrm{b}^{\mathrm{4}} }{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{a}\:\:\:\:\:\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{4}} +\mathrm{b}^{\mathrm{4}} }{\mathrm{2}}+\mathrm{3a}^{\mathrm{2}} \mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2ab}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \right)\geqslant\mathrm{0}? \\ $$
Commented by Berbere last updated on 24/Mar/24
$${squar} \\ $$$${a}^{\mathrm{4}} +{b}^{\mathrm{4}} +\mathrm{2}{a}^{\mathrm{2}} {b}^{\mathrm{2}} +{a}^{\mathrm{2}} {b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{ab}\left({a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} \right)\geqslant\frac{{a}^{\mathrm{4}} +{b}^{\mathrm{4}} }{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow{a}^{\mathrm{4}} +{b}^{\mathrm{4}} −\frac{{a}^{\mathrm{4}} +{b}^{\mathrm{4}} }{\mathrm{2}}+\mathrm{3}{a}^{\mathrm{2}} {b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{ab}\left({a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} \right)\geqslant\mathrm{0} \\ $$$$\frac{{a}^{\mathrm{4}} +{b}^{\mathrm{4}} }{\mathrm{2}}+\mathrm{3}{a}^{\mathrm{2}} {b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{ab}\left({a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} \right)\geqslant\mathrm{0} \\ $$