Question-205545

Question Number 205545 by Abdullahrussell last updated on 24/Mar/24

Commented by mr W last updated on 24/Mar/24

$$=\mathrm{768612}\:? \\ $$

Answered by A5T last updated on 24/Mar/24

x+(1/x)=a;y+(1/y)=b⇒a+b=12 (x+(1/x))^2 +(y+(1/y))^2 =74⇒a^2 +b^2 =74 ⇒(a+b)^2 −2ab=74⇒2ab=70⇒ab=35 ⇒z^2 −12z+35=0⇒a=7 or b=5 upto symmetry ⇒x+(1/x)=7⇒x^2 −7x+1=0;y+(1/y)=5⇒y^2 −5y+1=0 ⇒x=((7+_− 3(√5))/2); y=((5+_− (√(21)))/2) ⇒x^7 +(1/x^7 )+(1/y^7 )+y^7 =768612

$${x}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}={a};{y}+\frac{\mathrm{1}}{{y}}={b}\Rightarrow{a}+{b}=\mathrm{12} \\ $$$$\left({x}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)^{\mathrm{2}} +\left({y}+\frac{\mathrm{1}}{{y}}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{74}\Rightarrow{a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} =\mathrm{74} \\ $$$$\Rightarrow\left({a}+{b}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{ab}=\mathrm{74}\Rightarrow\mathrm{2}{ab}=\mathrm{70}\Rightarrow{ab}=\mathrm{35} \\ $$$$\Rightarrow{z}^{\mathrm{2}} −\mathrm{12}{z}+\mathrm{35}=\mathrm{0}\Rightarrow{a}=\mathrm{7}\:{or}\:{b}=\mathrm{5}\:{upto}\:{symmetry} \\ $$$$\Rightarrow{x}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}=\mathrm{7}\Rightarrow{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7}{x}+\mathrm{1}=\mathrm{0};{y}+\frac{\mathrm{1}}{{y}}=\mathrm{5}\Rightarrow{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}{y}+\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow{x}=\frac{\mathrm{7}\underset{−} {+}\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}};\:{y}=\frac{\mathrm{5}\underset{−} {+}\sqrt{\mathrm{21}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow{x}^{\mathrm{7}} +\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{7}} }+\frac{\mathrm{1}}{{y}^{\mathrm{7}} }+{y}^{\mathrm{7}} =\mathrm{768612} \\ $$

Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 24/Mar/24

x+(1/x)=a , y+(1/y)=12−a x^2 +(1/x^2 )+2+y^2 +(1/y^2 )+2=70+4=74 (x+(1/x))^2 +(y+(1/y))^2 =74 a^2 +(12−a)^2 =74 a^2 +144−24a+a^2 −74=0 2a^2 −24a+70=0 a^2 −12a+35=0 (a−5)(a−7)=0 a=5,7 x+(1/x)=5,7 y+(1/y)=7,5 •x+(1/x)=5 & y+(1/y)=7 [obviously, x+(1/x)=7 & y+(1/y)=5 will give same result] •x^2 =5x−1 & y^2 =7x−1 •x^3 =5x^2 −x=5(5x−1)−x=24x−5 •x^4 =24x^2 −5x =24(5x−1)−5x=115x−24 •x^7 =x^3 .x^4 =(24x−5)(115x−24) =2760x^2 −1151x+120 =2760(5x−1)−1151x+120 =12649x−2640 •(1/x)=5−x⇒•(1/x^2 )=(5/x)−1=5(5−x)−1 =24−5x •(1/x^3 )=24((1/x))−5=24(5−x)−5 =115−24x •(1/x^4 )=115((1/x))−24=115(5−x)−24 =551−115x •(1/x^7 )=(1/x^3 )∙(1/x^4 )=(115−24x)(551−115x) =2760x^2 −26449x+63365 =2760(5x−1)−26449x+63365 =60605−12649x •x^7 +(1/x^7 ) =(12649x−2640)+(60605−12649x) =57965 •y+(1/y)=7⇒•y^2 =7y−1 •y^3 =7y^2 −y=7(7y−1)−y=48y−7 •y^4 =48y^2 −7y=48(7y−1)−7y =329x−48 •y^7 =y^3 ∙y^4 =(48y−7)(329y−48) =15792y^2 −4607y+336 =15792(7y−1)−4607y+336 =105937y−15456 •(1/y)=7−y⇒ •(1/y^2 )=(7/y)−1=7(7−y)−1=48−7y •(1/y^3 )=((48)/y)−7=48(7−y)−7=329−48y •(1/y^4 )=((329)/y)−48=329(7−y)−48 =2255−329y •(1/y^7 )=(1/y^3 )∙(1/y^4 )=(329−48y)(2255−329y) =15792y^2 −216481y+741895 =15792(7y−1)−216481y+741895 =726103−105937y •y^7 +(1/y^7 )=(105937y−15456)+(726103−105937y) =710647 •x^7 +(1/x^7 )+y^7 +(1/y^7 )=57965+710647 =768612

$$\:\:\:{x}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}={a}\:,\:{y}+\frac{\mathrm{1}}{{y}}=\mathrm{12}−{a} \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }+\mathrm{2}+{y}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{{y}^{\mathrm{2}} }+\mathrm{2}=\mathrm{70}+\mathrm{4}=\mathrm{74} \\ $$$$\left({x}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)^{\mathrm{2}} +\left({y}+\frac{\mathrm{1}}{{y}}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{74} \\ $$$$\:\:\:{a}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{12}−{a}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{74} \\ $$$$\:\:{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{144}−\mathrm{24}{a}+{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{74}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{2}{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{24}{a}+\mathrm{70}=\mathrm{0} \\ $$$${a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{12}{a}+\mathrm{35}=\mathrm{0} \\ $$$$\left({a}−\mathrm{5}\right)\left({a}−\mathrm{7}\right)=\mathrm{0} \\ $$$${a}=\mathrm{5},\mathrm{7} \\ $$$${x}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}=\mathrm{5},\mathrm{7} \\ $$$${y}+\frac{\mathrm{1}}{{y}}=\mathrm{7},\mathrm{5} \\ $$$$\bullet{x}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}=\mathrm{5}\:\&\:{y}+\frac{\mathrm{1}}{{y}}=\mathrm{7} \\ $$$$\:\:\left[{obviously},\:{x}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}=\mathrm{7}\:\&\:{y}+\frac{\mathrm{1}}{{y}}=\mathrm{5}\:{will}\:{give}\:{same}\:{result}\right] \\ $$$$\bullet{x}^{\mathrm{2}} =\mathrm{5}{x}−\mathrm{1}\:\&\:{y}^{\mathrm{2}} =\mathrm{7}{x}−\mathrm{1} \\ $$$$\bullet{x}^{\mathrm{3}} =\mathrm{5}{x}^{\mathrm{2}} −{x}=\mathrm{5}\left(\mathrm{5}{x}−\mathrm{1}\right)−{x}=\mathrm{24}{x}−\mathrm{5} \\ $$$$\bullet{x}^{\mathrm{4}} =\mathrm{24}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}{x} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:=\mathrm{24}\left(\mathrm{5}{x}−\mathrm{1}\right)−\mathrm{5}{x}=\mathrm{115}{x}−\mathrm{24} \\ $$$$\bullet{x}^{\mathrm{7}} ={x}^{\mathrm{3}} .{x}^{\mathrm{4}} =\left(\mathrm{24}{x}−\mathrm{5}\right)\left(\mathrm{115}{x}−\mathrm{24}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{2760}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1151}{x}+\mathrm{120} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:=\mathrm{2760}\left(\mathrm{5}{x}−\mathrm{1}\right)−\mathrm{1151}{x}+\mathrm{120} \\ $$$$\:\:\:\:\:=\mathrm{12649}{x}−\mathrm{2640} \\ $$$$ \\ $$$$\bullet\frac{\mathrm{1}}{{x}}=\mathrm{5}−{x}\Rightarrow\bullet\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{5}}{{x}}−\mathrm{1}=\mathrm{5}\left(\mathrm{5}−{x}\right)−\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:=\mathrm{24}−\mathrm{5}{x} \\ $$$$\bullet\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{3}} }=\mathrm{24}\left(\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)−\mathrm{5}=\mathrm{24}\left(\mathrm{5}−{x}\right)−\mathrm{5} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:=\mathrm{115}−\mathrm{24}{x} \\ $$$$\bullet\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{4}} }=\mathrm{115}\left(\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)−\mathrm{24}=\mathrm{115}\left(\mathrm{5}−{x}\right)−\mathrm{24} \\ $$$$\:\:\:\:=\mathrm{551}−\mathrm{115}{x} \\ $$$$\bullet\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{7}} }=\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{3}} }\centerdot\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{4}} }=\left(\mathrm{115}−\mathrm{24}{x}\right)\left(\mathrm{551}−\mathrm{115}{x}\right) \\ $$$$\:\:\:=\mathrm{2760}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{26449}{x}+\mathrm{63365} \\ $$$$\:\:\:=\mathrm{2760}\left(\mathrm{5}{x}−\mathrm{1}\right)−\mathrm{26449}{x}+\mathrm{63365} \\ $$$$\:\:\:=\mathrm{60605}−\mathrm{12649}{x} \\ $$$$\bullet{x}^{\mathrm{7}} +\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{7}} } \\ $$$$=\left(\mathrm{12649}{x}−\mathrm{2640}\right)+\left(\mathrm{60605}−\mathrm{12649}{x}\right)\: \\ $$$$=\mathrm{57965} \\ $$$$\bullet{y}+\frac{\mathrm{1}}{{y}}=\mathrm{7}\Rightarrow\bullet{y}^{\mathrm{2}} =\mathrm{7}{y}−\mathrm{1} \\ $$$$\bullet{y}^{\mathrm{3}} =\mathrm{7}{y}^{\mathrm{2}} −{y}=\mathrm{7}\left(\mathrm{7}{y}−\mathrm{1}\right)−{y}=\mathrm{48}{y}−\mathrm{7} \\ $$$$\bullet{y}^{\mathrm{4}} =\mathrm{48}{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7}{y}=\mathrm{48}\left(\mathrm{7}{y}−\mathrm{1}\right)−\mathrm{7}{y} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{329}{x}−\mathrm{48} \\ $$$$\bullet{y}^{\mathrm{7}} ={y}^{\mathrm{3}} \centerdot{y}^{\mathrm{4}} =\left(\mathrm{48}{y}−\mathrm{7}\right)\left(\mathrm{329}{y}−\mathrm{48}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{15792}{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4607}{y}+\mathrm{336}\:\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{15792}\left(\mathrm{7}{y}−\mathrm{1}\right)−\mathrm{4607}{y}+\mathrm{336} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:=\mathrm{105937}{y}−\mathrm{15456} \\ $$$$\: \\ $$$$\bullet\frac{\mathrm{1}}{{y}}=\mathrm{7}−{y}\Rightarrow \\ $$$$\bullet\frac{\mathrm{1}}{{y}^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{7}}{{y}}−\mathrm{1}=\mathrm{7}\left(\mathrm{7}−{y}\right)−\mathrm{1}=\mathrm{48}−\mathrm{7}{y} \\ $$$$\bullet\frac{\mathrm{1}}{{y}^{\mathrm{3}} }=\frac{\mathrm{48}}{{y}}−\mathrm{7}=\mathrm{48}\left(\mathrm{7}−{y}\right)−\mathrm{7}=\mathrm{329}−\mathrm{48}{y} \\ $$$$\bullet\frac{\mathrm{1}}{{y}^{\mathrm{4}} }=\frac{\mathrm{329}}{{y}}−\mathrm{48}=\mathrm{329}\left(\mathrm{7}−{y}\right)−\mathrm{48} \\ $$$$\:\:\:=\mathrm{2255}−\mathrm{329}{y} \\ $$$$\bullet\frac{\mathrm{1}}{{y}^{\mathrm{7}} }=\frac{\mathrm{1}}{{y}^{\mathrm{3}} }\centerdot\frac{\mathrm{1}}{{y}^{\mathrm{4}} }=\left(\mathrm{329}−\mathrm{48}{y}\right)\left(\mathrm{2255}−\mathrm{329}{y}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:=\mathrm{15792}{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{216481}{y}+\mathrm{741895}\:\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:=\mathrm{15792}\left(\mathrm{7}{y}−\mathrm{1}\right)−\mathrm{216481}{y}+\mathrm{741895} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:=\mathrm{726103}−\mathrm{105937}{y} \\ $$$$\bullet{y}^{\mathrm{7}} +\frac{\mathrm{1}}{{y}^{\mathrm{7}} }=\left(\mathrm{105937}{y}−\mathrm{15456}\right)+\left(\mathrm{726103}−\mathrm{105937}{y}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{710647} \\ $$$$\bullet{x}^{\mathrm{7}} +\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{7}} }+{y}^{\mathrm{7}} +\frac{\mathrm{1}}{{y}^{\mathrm{7}} }=\mathrm{57965}+\mathrm{710647} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{768612} \\ $$

Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 24/Mar/24

$$\mathcal{T}{he}\:{answer}\:{is}\:{complete}\:{now}. \\ $$

Answered by mr W last updated on 24/Mar/24

x+(1/x)=a, say ⇒x^2 +(1/x^2 )=a^2 −2 (x^2 +(1/x^2 ))(x+(1/x))=a^3 −2a x^3 +(1/x^3 )+x+(1/x)=a^3 −2a ⇒x^3 +(1/x^3 )=a^3 −3a (x^3 +(1/x^3 ))(x^2 +(1/x^2 ))=(a^3 −3a)(a^2 −2)=a^5 −5a^3 +6a x^5 +(1/x^5 )+x+(1/x)=a^5 −5a^3 +6a ⇒x^5 +(1/x^5 )=a^5 −5a^3 +5a (x^5 +(1/x^5 ))(x^2 +(1/x^2 ))=(a^5 −5a^3 +5a)(a^2 −2)=a^7 −7a^5 +15a^3 −10a x^7 +(1/x^7 )+x^3 +(1/x^3 )=(a^5 −5a^3 +5a)(a^2 −2)=a^7 −7a^5 +15a^3 −10a ⇒x^7 +(1/x^7 )=a^7 −7a^5 +14a^3 −7a similarly y+(1/y)=b y^7 +(1/y^7 )=b^7 −7b^5 +14b^3 −7b S=x^7 +(1/x^7 )+y^7 +(1/y^7 )=(a^7 +b^7 )−7(a^5 +b^5 )+14(a^3 +b^3 )−7(a+b) given: x+(1/x)+y+(1/y)=12 ⇒a+b=12 x^2 +(1/x^2 )+y^2 +(1/y^2 )=70 ⇒a^2 +b^2 =74 (a+b)^2 −(a^2 +b^2 )=12^2 −74 ⇒ab=((12^2 −74)/2)=35 (a^2 +b^2 )(a+b)=74×12 a^3 +b^3 +ab(a+b)=74×12 ⇒a^3 +b^3 =74×12−35×12=468 (a^3 +b^3 )(a^2 +b^2 )=468×74 a^5 +b^5 +(ab)^2 (a+b)=468×74 ⇒a^5 +b^5 =468×74−35^2 ×12=19932 (a^5 +b^5 )(a^2 +b^2 )=19932×74 a^7 +b^7 +(ab)^2 (a^3 +b^3 )=19932×74 ⇒a^7 +b^7 =19932×74−35^2 ×468=901668 S=901668−7×19932+14×468−7×12 =768 612 ✓

$${x}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}={a},\:{say} \\ $$$$\Rightarrow{x}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }={a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2} \\ $$$$\left({x}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }\right)\left({x}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)={a}^{\mathrm{3}} −\mathrm{2}{a} \\ $$$${x}^{\mathrm{3}} +\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{3}} }+{x}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}={a}^{\mathrm{3}} −\mathrm{2}{a} \\ $$$$\Rightarrow{x}^{\mathrm{3}} +\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{3}} }={a}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3}{a} \\ $$$$\left({x}^{\mathrm{3}} +\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{3}} }\right)\left({x}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }\right)=\left({a}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3}{a}\right)\left({a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\right)={a}^{\mathrm{5}} −\mathrm{5}{a}^{\mathrm{3}} +\mathrm{6}{a} \\ $$$${x}^{\mathrm{5}} +\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{5}} }+{x}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}={a}^{\mathrm{5}} −\mathrm{5}{a}^{\mathrm{3}} +\mathrm{6}{a} \\ $$$$\Rightarrow{x}^{\mathrm{5}} +\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{5}} }={a}^{\mathrm{5}} −\mathrm{5}{a}^{\mathrm{3}} +\mathrm{5}{a} \\ $$$$\left({x}^{\mathrm{5}} +\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{5}} }\right)\left({x}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }\right)=\left({a}^{\mathrm{5}} −\mathrm{5}{a}^{\mathrm{3}} +\mathrm{5}{a}\right)\left({a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\right)={a}^{\mathrm{7}} −\mathrm{7}{a}^{\mathrm{5}} +\mathrm{15}{a}^{\mathrm{3}} −\mathrm{10}{a} \\ $$$${x}^{\mathrm{7}} +\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{7}} }+{x}^{\mathrm{3}} +\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{3}} }=\left({a}^{\mathrm{5}} −\mathrm{5}{a}^{\mathrm{3}} +\mathrm{5}{a}\right)\left({a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\right)={a}^{\mathrm{7}} −\mathrm{7}{a}^{\mathrm{5}} +\mathrm{15}{a}^{\mathrm{3}} −\mathrm{10}{a} \\ $$$$\Rightarrow{x}^{\mathrm{7}} +\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{7}} }={a}^{\mathrm{7}} −\mathrm{7}{a}^{\mathrm{5}} +\mathrm{14}{a}^{\mathrm{3}} −\mathrm{7}{a} \\ $$$${similarly} \\ $$$${y}+\frac{\mathrm{1}}{{y}}={b} \\ $$$${y}^{\mathrm{7}} +\frac{\mathrm{1}}{{y}^{\mathrm{7}} }={b}^{\mathrm{7}} −\mathrm{7}{b}^{\mathrm{5}} +\mathrm{14}{b}^{\mathrm{3}} −\mathrm{7}{b} \\ $$$${S}={x}^{\mathrm{7}} +\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{7}} }+{y}^{\mathrm{7}} +\frac{\mathrm{1}}{{y}^{\mathrm{7}} }=\left({a}^{\mathrm{7}} +{b}^{\mathrm{7}} \right)−\mathrm{7}\left({a}^{\mathrm{5}} +{b}^{\mathrm{5}} \right)+\mathrm{14}\left({a}^{\mathrm{3}} +{b}^{\mathrm{3}} \right)−\mathrm{7}\left({a}+{b}\right) \\ $$$${given}: \\ $$$${x}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}+{y}+\frac{\mathrm{1}}{{y}}=\mathrm{12}\:\Rightarrow{a}+{b}=\mathrm{12} \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }+{y}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{{y}^{\mathrm{2}} }=\mathrm{70}\:\Rightarrow{a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} =\mathrm{74} \\ $$$$\left({a}+{b}\right)^{\mathrm{2}} −\left({a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} \right)=\mathrm{12}^{\mathrm{2}} −\mathrm{74} \\ $$$$\Rightarrow{ab}=\frac{\mathrm{12}^{\mathrm{2}} −\mathrm{74}}{\mathrm{2}}=\mathrm{35} \\ $$$$\left({a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} \right)\left({a}+{b}\right)=\mathrm{74}×\mathrm{12} \\ $$$${a}^{\mathrm{3}} +{b}^{\mathrm{3}} +{ab}\left({a}+{b}\right)=\mathrm{74}×\mathrm{12} \\ $$$$\Rightarrow{a}^{\mathrm{3}} +{b}^{\mathrm{3}} =\mathrm{74}×\mathrm{12}−\mathrm{35}×\mathrm{12}=\mathrm{468} \\ $$$$\left({a}^{\mathrm{3}} +{b}^{\mathrm{3}} \right)\left({a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} \right)=\mathrm{468}×\mathrm{74} \\ $$$${a}^{\mathrm{5}} +{b}^{\mathrm{5}} +\left({ab}\right)^{\mathrm{2}} \left({a}+{b}\right)=\mathrm{468}×\mathrm{74} \\ $$$$\Rightarrow{a}^{\mathrm{5}} +{b}^{\mathrm{5}} =\mathrm{468}×\mathrm{74}−\mathrm{35}^{\mathrm{2}} ×\mathrm{12}=\mathrm{19932} \\ $$$$\left({a}^{\mathrm{5}} +{b}^{\mathrm{5}} \right)\left({a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} \right)=\mathrm{19932}×\mathrm{74} \\ $$$${a}^{\mathrm{7}} +{b}^{\mathrm{7}} +\left({ab}\right)^{\mathrm{2}} \left({a}^{\mathrm{3}} +{b}^{\mathrm{3}} \right)=\mathrm{19932}×\mathrm{74} \\ $$$$\Rightarrow{a}^{\mathrm{7}} +{b}^{\mathrm{7}} =\mathrm{19932}×\mathrm{74}−\mathrm{35}^{\mathrm{2}} ×\mathrm{468}=\mathrm{901668} \\ $$$$ \\ $$$${S}=\mathrm{901668}−\mathrm{7}×\mathrm{19932}+\mathrm{14}×\mathrm{468}−\mathrm{7}×\mathrm{12} \\ $$$$\:\:\:=\mathrm{768}\:\mathrm{612}\:\checkmark \\ $$

Answered by mr W last updated on 24/Mar/24

<<using newton′s identities>> a_1 =x+(1/x)=e_1 =a, say a_2 =e_1 a_1 −2e_2 =a^2 −2 with e_2 =1 a_3 =e_1 a_2 −e_2 a_1 =a(a^2 −2)−a=a^3 −3a a_4 =e_1 a_3 −e_2 a_2 =a(a^3 −3a)−(a^2 −2)=a^4 −4a^2 +2 a_5 =e_1 a_4 −e_2 a_3 =a(a^4 −4a^2 +2)−(a^3 −3a)=a^5 −5a^3 +5a a_6 =e_1 a_5 −e_2 a_4 =a(a^5 −5a^3 +5a)−(a^4 −4a^2 +2)=a^6 −6a^4 +9a^2 −2 a_7 =e_1 a_6 −e_2 a_5 =a(a^6 −6a^4 +9a^2 −2)−(a^5 −5a^3 +5a)=a^7 −7a^5 +14a^3 −7a i.e. x^7 +(1/x^7 )=a^7 −7a^5 +14a^3 −7a with a=x+(1/x) similarly y^7 +(1/y^7 )=b^7 −7b^5 +14b^3 −7b with b=y+(1/y) x^7 +(1/x^7 )+y^7 +(1/y^7 )=(a^7 +b^7 )−7(a^5 +b^5 )+14(a^3 +b^3 )−7(a+b) p_1 =a+b=x+(1/x)+y+(1/y)=12=e_1 p_2 =a^2 +b^2 =(x+(1/x))^2 +(y+(1/y))^2 =x^2 +(1/x^2 )+2+y^2 +(1/y^2 )+2=70+4=74 p_2 =e_1 p_1 −2e_2 =12×12−2e_2 =74 ⇒e_2 =35 p_3 =e_1 p_2 −e_2 p_1 =12×74−35×12=468 p_4 =e_1 p_3 −e_2 p_2 =12×468−35×74=3026 p_5 =e_1 p_4 −e_2 p_3 =12×3026−35×468=19932 p_6 =e_1 p_5 −e_2 p_4 =12×19932−35×3026=133274 p_7 =e_1 p_6 −e_2 p_5 =12×133274−35×19932=901668 x^7 +(1/x^7 )+y^7 +(1/y^7 )=901668−7×19932+14×468−7×12 =768612 ✓

$$<<{using}\:{newton}'{s}\:{identities}>> \\ $$$${a}_{\mathrm{1}} ={x}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}={e}_{\mathrm{1}} ={a},\:{say} \\ $$$${a}_{\mathrm{2}} ={e}_{\mathrm{1}} {a}_{\mathrm{1}} −\mathrm{2}{e}_{\mathrm{2}} ={a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\:{with}\:{e}_{\mathrm{2}} =\mathrm{1} \\ $$$${a}_{\mathrm{3}} ={e}_{\mathrm{1}} {a}_{\mathrm{2}} −{e}_{\mathrm{2}} {a}_{\mathrm{1}} ={a}\left({a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\right)−{a}={a}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3}{a} \\ $$$${a}_{\mathrm{4}} ={e}_{\mathrm{1}} {a}_{\mathrm{3}} −{e}_{\mathrm{2}} {a}_{\mathrm{2}} ={a}\left({a}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3}{a}\right)−\left({a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\right)={a}^{\mathrm{4}} −\mathrm{4}{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2} \\ $$$${a}_{\mathrm{5}} ={e}_{\mathrm{1}} {a}_{\mathrm{4}} −{e}_{\mathrm{2}} {a}_{\mathrm{3}} ={a}\left({a}^{\mathrm{4}} −\mathrm{4}{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\right)−\left({a}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3}{a}\right)={a}^{\mathrm{5}} −\mathrm{5}{a}^{\mathrm{3}} +\mathrm{5}{a} \\ $$$${a}_{\mathrm{6}} ={e}_{\mathrm{1}} {a}_{\mathrm{5}} −{e}_{\mathrm{2}} {a}_{\mathrm{4}} ={a}\left({a}^{\mathrm{5}} −\mathrm{5}{a}^{\mathrm{3}} +\mathrm{5}{a}\right)−\left({a}^{\mathrm{4}} −\mathrm{4}{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\right)={a}^{\mathrm{6}} −\mathrm{6}{a}^{\mathrm{4}} +\mathrm{9}{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2} \\ $$$${a}_{\mathrm{7}} ={e}_{\mathrm{1}} {a}_{\mathrm{6}} −{e}_{\mathrm{2}} {a}_{\mathrm{5}} ={a}\left({a}^{\mathrm{6}} −\mathrm{6}{a}^{\mathrm{4}} +\mathrm{9}{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\right)−\left({a}^{\mathrm{5}} −\mathrm{5}{a}^{\mathrm{3}} +\mathrm{5}{a}\right)={a}^{\mathrm{7}} −\mathrm{7}{a}^{\mathrm{5}} +\mathrm{14}{a}^{\mathrm{3}} −\mathrm{7}{a} \\ $$$${i}.{e}.\:{x}^{\mathrm{7}} +\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{7}} }={a}^{\mathrm{7}} −\mathrm{7}{a}^{\mathrm{5}} +\mathrm{14}{a}^{\mathrm{3}} −\mathrm{7}{a}\:{with}\:{a}={x}+\frac{\mathrm{1}}{{x}} \\ $$$${similarly} \\ $$$${y}^{\mathrm{7}} +\frac{\mathrm{1}}{{y}^{\mathrm{7}} }={b}^{\mathrm{7}} −\mathrm{7}{b}^{\mathrm{5}} +\mathrm{14}{b}^{\mathrm{3}} −\mathrm{7}{b}\:{with}\:{b}={y}+\frac{\mathrm{1}}{{y}} \\ $$$${x}^{\mathrm{7}} +\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{7}} }+{y}^{\mathrm{7}} +\frac{\mathrm{1}}{{y}^{\mathrm{7}} }=\left({a}^{\mathrm{7}} +{b}^{\mathrm{7}} \right)−\mathrm{7}\left({a}^{\mathrm{5}} +{b}^{\mathrm{5}} \right)+\mathrm{14}\left({a}^{\mathrm{3}} +{b}^{\mathrm{3}} \right)−\mathrm{7}\left({a}+{b}\right) \\ $$$$ \\ $$$${p}_{\mathrm{1}} ={a}+{b}={x}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}+{y}+\frac{\mathrm{1}}{{y}}=\mathrm{12}={e}_{\mathrm{1}} \\ $$$${p}_{\mathrm{2}} ={a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} =\left({x}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)^{\mathrm{2}} +\left({y}+\frac{\mathrm{1}}{{y}}\right)^{\mathrm{2}} ={x}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }+\mathrm{2}+{y}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{{y}^{\mathrm{2}} }+\mathrm{2}=\mathrm{70}+\mathrm{4}=\mathrm{74} \\ $$$${p}_{\mathrm{2}} ={e}_{\mathrm{1}} {p}_{\mathrm{1}} −\mathrm{2}{e}_{\mathrm{2}} =\mathrm{12}×\mathrm{12}−\mathrm{2}{e}_{\mathrm{2}} =\mathrm{74}\:\Rightarrow{e}_{\mathrm{2}} =\mathrm{35} \\ $$$${p}_{\mathrm{3}} ={e}_{\mathrm{1}} {p}_{\mathrm{2}} −{e}_{\mathrm{2}} {p}_{\mathrm{1}} =\mathrm{12}×\mathrm{74}−\mathrm{35}×\mathrm{12}=\mathrm{468} \\ $$$${p}_{\mathrm{4}} ={e}_{\mathrm{1}} {p}_{\mathrm{3}} −{e}_{\mathrm{2}} {p}_{\mathrm{2}} =\mathrm{12}×\mathrm{468}−\mathrm{35}×\mathrm{74}=\mathrm{3026} \\ $$$${p}_{\mathrm{5}} ={e}_{\mathrm{1}} {p}_{\mathrm{4}} −{e}_{\mathrm{2}} {p}_{\mathrm{3}} =\mathrm{12}×\mathrm{3026}−\mathrm{35}×\mathrm{468}=\mathrm{19932} \\ $$$${p}_{\mathrm{6}} ={e}_{\mathrm{1}} {p}_{\mathrm{5}} −{e}_{\mathrm{2}} {p}_{\mathrm{4}} =\mathrm{12}×\mathrm{19932}−\mathrm{35}×\mathrm{3026}=\mathrm{133274} \\ $$$${p}_{\mathrm{7}} ={e}_{\mathrm{1}} {p}_{\mathrm{6}} −{e}_{\mathrm{2}} {p}_{\mathrm{5}} =\mathrm{12}×\mathrm{133274}−\mathrm{35}×\mathrm{19932}=\mathrm{901668} \\ $$$$ \\ $$$${x}^{\mathrm{7}} +\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{7}} }+{y}^{\mathrm{7}} +\frac{\mathrm{1}}{{y}^{\mathrm{7}} }=\mathrm{901668}−\mathrm{7}×\mathrm{19932}+\mathrm{14}×\mathrm{468}−\mathrm{7}×\mathrm{12} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{768612}\:\checkmark \\ $$

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