Question Number 205643 by hardmath last updated on 26/Mar/24
$$\mathrm{If}\:\:\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c}>\mathrm{0}\:\:\mathrm{and}\:\:\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{c}^{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{abc} \\ $$$$\mathrm{Prove}\:\mathrm{that}: \\ $$$$\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{bc}}\:+\:\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{ac}}\:+\:\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{c}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{ab}}\:\leqslant\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$
Answered by A5T last updated on 29/Mar/24
$$\Sigma\frac{{a}}{{a}^{\mathrm{2}} +{bc}}\leqslant\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} +{c}^{\mathrm{2}} }\sqrt{\Sigma\frac{\mathrm{1}}{\left({a}^{\mathrm{2}} +{bc}\right)^{\mathrm{2}} }} \\ $$$$\leqslant\sqrt{{abc}}×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{{abc}}}\left(\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{{a}}+\frac{\mathrm{1}}{{b}}+\frac{\mathrm{1}}{{c}}}\right)\leqslant\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\sqrt{\frac{{ab}+{bc}+{ca}}{{abc}}}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sqrt{\frac{{ab}+{bc}+{ca}}{{a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} +{c}^{\mathrm{2}} }}\leqslant\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$