Question Number 205656 by SANOGO last updated on 26/Mar/24
Answered by TheHoneyCat last updated on 31/Mar/24
$$\left(\mathrm{2}\right)\Rightarrow\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{Soit}\:{c}\in\mathbb{R}^{\ast} \:\mathrm{tel}\:\mathrm{que}\:\forall{x}\in{X}\:\:\mid\mid{T}\left({x}\right)\mid\mid_{{Y}} \:\geqslant{c}\mid\mid{x}\mid\mid_{{X}} \\ $$$$\mathrm{Soit}\:\left({x},{x}'\right)\in{X}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mid\mid{T}\left({x}\right)−{T}\left({x}'\right)\mid\mid \\ $$$$=\mid\mid{T}\left({x}−{x}'\right)\mid\mid \\ $$$$\geqslant{c}\mid\mid{x}−{x}'\mid\mid \\ $$$$ \\ $$$${T}\left({x}\right)={T}\left({x}'\right) \\ $$$$\Rightarrow{T}\left({x}\right)−{T}\left({x}'\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mid\mid{T}\left({x}\right)−{T}\left({x}'\right)\mid\mid=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow{c}\mid\mid{x}−{x}'\mid\mid=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mid\mid{x}−{x}'\mid\mid=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow{x}−{x}'=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow{x}={x}' \\ $$$$\mathrm{Donc}\:\left(\mathrm{2}\right)\Rightarrow\:{T}\:\:\mathrm{injectif} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Soit}\:\left({t}_{{n}} \right)\:\mathrm{une}\:\mathrm{suite}\:\mathrm{de}\:\mathrm{Im}\left({X}\right)\:\mathrm{convergente} \\ $$$$\mathrm{dans}\:{Y}. \\ $$$$\mathrm{Puisque}\:\left({t}_{{n}} \right)\in\mathrm{Im}\left({X}\right)^{\mathbb{N}} ,\:\:\exists\left({x}_{{n}} \right)\in{X}^{\mathbb{N}} \:{t}_{{n}} ={T}\left({x}_{{n}} \right) \\ $$$$\left({t}_{{n}} \right)\:\mathrm{etant}\:\mathrm{convergente},\:\mathrm{c}'\mathrm{est}\:\mathrm{une}\:\mathrm{suite}\:\mathrm{de}\: \\ $$$$\mathrm{Cauchy}. \\ $$$$\mathrm{L}'\mathrm{inegalite}\:\mathrm{sur}\:{T}\:\:\mathrm{permet}\:\mathrm{de}\:\mathrm{deduire}\: \\ $$$$\left(\mathrm{c}'\mathrm{est}\:\mathrm{chiant}\:\mathrm{et}\:\mathrm{trivial}\:\mathrm{a}\:\mathrm{ecrire}\:\mathrm{donc}\:\mathrm{je}\:\mathrm{skip}\right) \\ $$$$\mathrm{que}\:\left({x}_{{n}} \right)\:\mathrm{est}\:\mathrm{aussi}\:\mathrm{une}\:\mathrm{suite}\:\mathrm{de}\:\mathrm{Cauchy}. \\ $$$$\mathrm{Or}\:{X}\:\mathrm{est}\:\mathrm{un}\:\mathrm{espace}\:\mathrm{de}\:\mathrm{Banach},\:\mathrm{donc}\:\left({x}_{{n}} \right) \\ $$$$\mathrm{converge}.\:\mathrm{Notant}\:{x}_{\infty} \:\mathrm{cette}\:\mathrm{limite} \\ $$$$\mathrm{Encore}\:\mathrm{un}\:\mathrm{coup}\:\mathrm{d}'\mathrm{inegalite}\:\mathrm{chiante} \\ $$$$\mathrm{en}\:\mathrm{utilisant}\:\mathrm{l}'\mathrm{inegalite}\:\mathrm{de}\:{T},\:\mathrm{mais}\:\mathrm{aussi}\:\mathrm{la} \\ $$$$\mathrm{linearite}\:\mathrm{de}\:{T}\:\mathrm{et}\:\mathrm{on}\:\mathrm{obtient}\:\mathrm{que}\:{T}\left({x}_{\infty} \right)={t}_{\infty} \\ $$$$\mathrm{d}'\mathrm{ou}\:\mathrm{on}\:\mathrm{deduit}\:\mathrm{la}\:\mathrm{fermeture}\:\mathrm{de}\:\mathrm{Im}\left({X}\right)… \\ $$
Answered by TheHoneyCat last updated on 31/Mar/24
$$\mathrm{non}\left(\mathrm{2}\right)\:\Rightarrow\:\mathrm{non}\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{Une}\:\mathrm{facon}\:\mathrm{de}\:\mathrm{definir}\:{c}\:\mathrm{est}: \\ $$$${c}\::=\:\mathrm{Sup}\left\{\mathrm{Inf}\left\{{c}_{{x}} :\mid\mid{T}\left({x}\right)\mid\mid\geqslant{c}_{{x}} \mid\mid{x}\mid\mid\right\},\:{x}\in{X}\right\} \\ $$$$\mathrm{Si}\:\left(\mathrm{2}\right)\:\mathrm{n}'\mathrm{est}\:{pas}\:\mathrm{verifie},\:\mathrm{on}\:\mathrm{a}\:\mathrm{tout}\:\mathrm{simplement} \\ $$$${c}=+\infty. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Donc}\:\mathrm{on}\:\mathrm{peut}\:\mathrm{trouver}\:\left({x}_{{n}} \right)\:\mathrm{tel}\:\mathrm{que}\:{c}_{{x}_{{n}} } \rightarrow+\infty \\ $$$$\mathrm{Donc}\:\left(\mathrm{en}\:\mathrm{renormalisant}\:{x}_{{n}} \:\mathrm{et}\:\mathrm{enlevant}\:\mathrm{les}\right. \\ $$$$\left.\mathrm{termes}\:\mathrm{nulles},\:\mathrm{pour}\:\mathrm{avoir}\:\mid\mid{T}\left({x}_{{n}} \right)\mid\mid=\mathrm{1}\right)\:\mathrm{on}\:\mathrm{obtient} \\ $$$$\mid\mid{T}\left({x}_{{n}} \right)\mid\mid\:\mathrm{qui}\:\mathrm{ne}\:\mathrm{peut}\:\mathrm{converger},\:\mathrm{car}\:\mathrm{les}\:{x}_{{n}} \:\mathrm{eux} \\ $$$$\mathrm{tendent}\:\mathrm{vers}\:\mathrm{0}. \\ $$$$\mathrm{La}\:\mathrm{encore}\:\mathrm{j}'\mathrm{explicite}\:\mathrm{pas}\:\mathrm{les}\:\mathrm{inegalite}\:\mathrm{par}\:\mathrm{flemme}. \\ $$$$\mathrm{Mais}\:\mathrm{je}\:\mathrm{pense}\:\mathrm{que}\:\mathrm{c}'\mathrm{est}\:\mathrm{bon}. \\ $$$$ \\ $$$${si}\:{jamais}\:{vous}\:{redigez}\:\:{le}\:{detail}\:{et}\:{que}\:{ca} \\ $$$${marche}\:{pas}…\:{mettez}\:{moi}\:{en}\:{commentaire} \\ $$$${le}\:{souci}\:{et}\:{je}\:{mis}\:{met}\:{plus}\:{serieusement}… \\ $$