Question Number 205670 by hardmath last updated on 26/Mar/24
Answered by Berbere last updated on 27/Mar/24
$$\Omega=\int_{\mathrm{1}} ^{\sqrt{\mathrm{3}}} \left(\frac{\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left({x}\right)}{{x}−\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left({x}\right)}\right)^{\mathrm{2}} {dx} \\ $$$$\int_{\mathrm{1}} ^{\sqrt{\mathrm{3}}} \left(\mathrm{1}+\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{\left({x}−\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left({x}\right)\right)^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{2}{x}}{\left({x}−\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left({x}\right)\right)}\right){dx} \\ $$$$=\left(\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{1}\right)+\int_{\mathrm{1}} ^{\sqrt{\mathrm{3}}} \frac{−{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{x}\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left({x}\right)}{\left({x}−\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left({x}\right)\right)^{\mathrm{2}} }{dx}..{E} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\left({x}−\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left({x}\right)\right)}={u};{u}'=\frac{−\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} }}{\left({x}−\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left({x}\right)\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$${E}=\left(\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{1}\right)+\int_{\mathrm{1}} ^{\sqrt{\mathrm{3}}} \frac{\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} \right)}.\left(\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} \right)−\left(\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} \right)'.\left(−\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left({x}\right)+{x}\right)}{\left({x}−\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left({x}\right)\right)^{\mathrm{2}} }{dx} \\ $$$$=\left(\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{1}\right)+\int_{\mathrm{1}} ^{\sqrt{\mathrm{3}}} \left(\:\frac{−\left(\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left({x}\right)−{x}\right)'.\left(\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} \right)+\left(\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} \right)'\left(\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left({x}\right)−{x}\right)}{\left({x}−\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left({x}\right)\right)}{dx}\right. \\ $$$$\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{1}+\left[\frac{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \left({x}\right)−{x}}\right]_{\mathrm{1}} ^{\sqrt{\mathrm{3}}} =\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{1}+\frac{\mathrm{12}}{\pi−\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}}−\frac{\mathrm{8}}{\pi−\mathrm{4}} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$
Commented by hardmath last updated on 27/Mar/24
$$\mathrm{Thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{dear}\:\mathrm{professor}\:\mathrm{cool} \\ $$