Question Number 206024 by MaruMaru last updated on 05/Apr/24
$${proove} \\ $$$${e}^{{i}\pi} +\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$
Answered by Tinku Tara last updated on 05/Apr/24
$${e}^{{i}\pi} ={cos}\pi+{isin}\pi=−\mathrm{1} \\ $$
Answered by Frix last updated on 06/Apr/24
$$\mathrm{1}. \\ $$$$\mathrm{e}^{\mathrm{i}{x}} =\mathrm{cos}\:{x}\:+\mathrm{i}\:\mathrm{sin}\:{x}\:\left(?\right) \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Let}\:{f}\left({x}\right)=\frac{\mathrm{cos}\:{x}\:+\mathrm{i}\:\mathrm{sin}\:{x}}{\mathrm{e}^{\mathrm{i}{x}} } \\ $$$$ \\ $$$$\frac{{df}}{{dx}}=\:\:\:\:\:\left[\mathrm{Rule}\:\left(\frac{{u}}{{v}}\right)'=\frac{{u}'{v}−{v}'{u}}{{v}^{\mathrm{2}} }\right] \\ $$$$=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}{x}} \frac{{d}}{{dx}}\left[\mathrm{cos}\:{x}\:+\mathrm{i}\:\mathrm{sin}\:{x}\right]−\left(\mathrm{cos}\:{x}\:+\mathrm{i}\:\mathrm{sin}\:{x}\right)\frac{{d}}{{dx}}\left[\mathrm{e}^{\mathrm{i}{x}} \right]}{\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}{x}} \right)^{\mathrm{2}} }= \\ $$$$=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}{x}} \left(−\mathrm{sin}\:{x}\:+\mathrm{i}\:\mathrm{cos}\:{x}\right)−\left(\mathrm{cos}\:{x}\:+\mathrm{i}\:\mathrm{sin}\:{x}\right)\mathrm{e}^{\mathrm{i}{x}} \mathrm{i}}{\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}{x}} \right)^{\mathrm{2}} }= \\ $$$$=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}{x}} \left(\left(−\mathrm{sin}\:{x}\:+\mathrm{i}\:\mathrm{cos}\:{x}\right)−\left(\mathrm{i}\:\mathrm{cos}\:{x}\:−\mathrm{sin}\:{x}\right)\right)}{\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}{x}} \right)^{\mathrm{2}} }= \\ $$$$=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow \\ $$$$\frac{\mathrm{cos}\:{x}\:+\mathrm{i}\:\mathrm{sin}\:{x}}{\mathrm{e}^{\mathrm{i}{x}} }\:\mathrm{is}\:\mathrm{a}\:\mathrm{constant}\:\mathrm{function} \\ $$$${f}\left(\mathrm{0}\right)=\frac{\mathrm{1}+\mathrm{0i}}{\mathrm{1}}=\mathrm{1}\:\Rightarrow\:{f}\left({x}\right)=\mathrm{1} \\ $$$$\Leftrightarrow\:\frac{\mathrm{cos}\:{x}\:+\mathrm{i}\:\mathrm{sin}\:{x}}{\mathrm{e}^{\mathrm{i}{x}} }=\mathrm{1}\:\Leftrightarrow\:\mathrm{e}^{\mathrm{i}{x}} =\mathrm{cos}\:{x}\:+\mathrm{i}\:\mathrm{sin}\:{x} \\ $$$$\mathrm{2}. \\ $$$$\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi} =\mathrm{cos}\:\pi\:+\mathrm{i}\:\mathrm{sin}\:\pi\:=−\mathrm{1}+\mathrm{0i}=−\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi} =−\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi} +\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{q}.\mathrm{e}.\mathrm{d}. \\ $$