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If-x-5-1-5-1-then-x-12-

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Question Number 206108 by MATHEMATICSAM last updated on 07/Apr/24
If x = (√(((√5) + 1)/( (√5) − 1))) then x^(12) = ?
$$\mathrm{If}\:{x}\:=\:\sqrt{\frac{\sqrt{\mathrm{5}}\:+\:\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{5}}\:−\:\mathrm{1}}}\:\mathrm{then}\:{x}^{\mathrm{12}} \:=\:? \\ $$
Answered by mr W last updated on 07/Apr/24
x=(√(((√5)+1)/( (√5)−1)))=(((√5)+1)/2)=ϕ x^2 =x+1 x^4 =(x+1)^2 =x^2 +2x+1=3x+2 x^8 =9x^2 +12x+4=21x+13 x^(12) =(21x+13)(3x+2)=63x^2 +81x+26 =144x+89 =144×(((√5)+1)/2)+89=161+72(√5) ✓
$${x}=\sqrt{\frac{\sqrt{\mathrm{5}}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{5}}−\mathrm{1}}}=\frac{\sqrt{\mathrm{5}}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}=\varphi \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} ={x}+\mathrm{1} \\ $$$${x}^{\mathrm{4}} =\left({x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} ={x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}=\mathrm{3}{x}+\mathrm{2} \\ $$$${x}^{\mathrm{8}} =\mathrm{9}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{12}{x}+\mathrm{4}=\mathrm{21}{x}+\mathrm{13} \\ $$$${x}^{\mathrm{12}} =\left(\mathrm{21}{x}+\mathrm{13}\right)\left(\mathrm{3}{x}+\mathrm{2}\right)=\mathrm{63}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{81}{x}+\mathrm{26} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:=\mathrm{144}{x}+\mathrm{89} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:=\mathrm{144}×\frac{\sqrt{\mathrm{5}}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\mathrm{89}=\mathrm{161}+\mathrm{72}\sqrt{\mathrm{5}}\:\checkmark \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 07/Apr/24
If x = (√(((√5) + 1)/( (√5) − 1))) then x^(12) = ? x = (√((((√5) + 1)/( (√5) − 1))×(((√5)+1)/( (√5)+1)))) =(√((((√5) +1)^2 )/(5−1))) =(((√5) +1)/2) x^2 =((5+1+2(√5) )/4)=((3+(√5))/2) x^4 =((9+5+6(√5))/4)=((7+3(√5))/2) (x^4 )^3 =(((7+3(√5))/2))^3 x^(12) =((343+27∙5(√5) +3(7)(3(√5) )(7+3(√5)))/8) =((343+135(√5) +63(√5) (7+3(√5) ))/8) =((343+135(√5) +441(√5) +189∙5)/8) =((1288+576(√5))/8)=161+72(√5)
$$\mathrm{If}\:{x}\:=\:\sqrt{\frac{\sqrt{\mathrm{5}}\:+\:\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{5}}\:−\:\mathrm{1}}}\:\mathrm{then}\:{x}^{\mathrm{12}} \:=\:? \\ $$$${x}\:=\:\sqrt{\frac{\sqrt{\mathrm{5}}\:+\:\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{5}}\:−\:\mathrm{1}}×\frac{\sqrt{\mathrm{5}}+\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{5}}+\mathrm{1}}}\: \\ $$$$\:\:\:=\sqrt{\frac{\left(\sqrt{\mathrm{5}}\:+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{5}−\mathrm{1}}}\: \\ $$$$\:\:\:\:\:=\frac{\sqrt{\mathrm{5}}\:+\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{5}+\mathrm{1}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}\:}{\mathrm{4}}=\frac{\mathrm{3}+\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}} \\ $$$${x}^{\mathrm{4}} =\frac{\mathrm{9}+\mathrm{5}+\mathrm{6}\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{4}}=\frac{\mathrm{7}+\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\left({x}^{\mathrm{4}} \right)^{\mathrm{3}} =\left(\frac{\mathrm{7}+\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{3}} \\ $$$$\:\:{x}^{\mathrm{12}} =\frac{\mathrm{343}+\mathrm{27}\centerdot\mathrm{5}\sqrt{\mathrm{5}}\:+\mathrm{3}\left(\mathrm{7}\right)\left(\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{5}}\:\right)\left(\mathrm{7}+\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{5}}\right)}{\mathrm{8}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{343}+\mathrm{135}\sqrt{\mathrm{5}}\:+\mathrm{63}\sqrt{\mathrm{5}}\:\left(\mathrm{7}+\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{5}}\:\right)}{\mathrm{8}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{343}+\mathrm{135}\sqrt{\mathrm{5}}\:+\mathrm{441}\sqrt{\mathrm{5}}\:+\mathrm{189}\centerdot\mathrm{5}}{\mathrm{8}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{1288}+\mathrm{576}\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{8}}=\mathrm{161}+\mathrm{72}\sqrt{\mathrm{5}}\: \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 07/Apr/24
x^2 =(((√5) + 1)/( (√5) − 1)) ((x^2 +1)/(x^2 −1))=((√5)/1) [comp. & divid.] ((x^4 +2x^2 +1)/(x^4 −2x^2 +1))=5 x^4 −3x^2 +1=0 x^4 =3x^2 −1 x^6 =3x^4 −x^2 =3(3x^2 −1)−x^2 =8x^2 −3 x^(12) =64x^4 −48x^2 +9 =64(3x^2 −1)−48x^2 +9 =144x^2 −55 =144((((√5) + 1)/( (√5) − 1)))−55 =144(((((√5) + 1)^2 )/( 4)))−55 =36(5+1+2(√5) )−55 =161+72(√5)
$${x}^{\mathrm{2}} =\frac{\sqrt{\mathrm{5}}\:+\:\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{5}}\:−\:\mathrm{1}} \\ $$$$\frac{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}=\frac{\sqrt{\mathrm{5}}}{\mathrm{1}}\:\:\left[{comp}.\:\&\:{divid}.\right] \\ $$$$\frac{{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{2}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}=\mathrm{5} \\ $$$${x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$${x}^{\mathrm{4}} =\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1} \\ $$$${x}^{\mathrm{6}} =\mathrm{3}{x}^{\mathrm{4}} −{x}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:=\mathrm{3}\left(\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)−{x}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:=\mathrm{8}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3} \\ $$$${x}^{\mathrm{12}} =\mathrm{64}{x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{48}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{9} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:=\mathrm{64}\left(\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)−\mathrm{48}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{9} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:=\mathrm{144}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{55} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:=\mathrm{144}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{5}}\:+\:\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{5}}\:−\:\mathrm{1}}\right)−\mathrm{55} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:=\mathrm{144}\left(\frac{\left(\sqrt{\mathrm{5}}\:+\:\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{\:\mathrm{4}}\right)−\mathrm{55} \\ $$$$\:\:\:\:\:=\mathrm{36}\left(\mathrm{5}+\mathrm{1}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{5}}\:\right)−\mathrm{55} \\ $$$$\:\:\:\:=\mathrm{161}+\mathrm{72}\sqrt{\mathrm{5}}\: \\ $$

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