Question Number 206253 by mnjuly1970 last updated on 10/Apr/24
$$\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:{f}\left({x}\right)=\:{log}_{\:\mathrm{2}} \:\left(\:{x}\:+\:\mathrm{2}\sqrt{{x}}\:+\mathrm{4}\:\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\Rightarrow\:\:{f}^{\:−\mathrm{1}} \left(\:\mathrm{13}\:−\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}\:\right)\:=\:? \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:−−−−− \\ $$$$\:\:\:\: \\ $$
Answered by cortano21 last updated on 10/Apr/24
$$\:\:\:\cancel{\underline{\underbrace{\:}}}\:^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{13}−\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}\:\right)=\:{s}\:\Rightarrow{f}\left({s}\right)=\:\mathrm{13}−\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}} \\ $$$$\:\:\Rightarrow\mathrm{log}\:_{\mathrm{2}} \left(\left(\sqrt{{s}}\:\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\sqrt{{s}}\:+\:\mathrm{4}\right)\:=\:\mathrm{13}−\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}} \\ $$$$\:\Rightarrow\:\mathrm{log}\:_{\mathrm{2}} \left(\left(\sqrt{{s}}\:+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\right)\:=\:\mathrm{13}−\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}} \\ $$$$\:\Rightarrow\:\left(\sqrt{{s}}\:+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\:=\:\mathrm{2}^{\mathrm{13}−\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}} \\ $$$$\:\Rightarrow\:\sqrt{{s}}\:+\mathrm{1}\:=\:\sqrt{\mathrm{2}^{\mathrm{13}−\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}} −\mathrm{3}}\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:{s}\:=\:\left(\sqrt{\mathrm{2}^{\mathrm{13}−\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}} −\mathrm{3}}\:−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$ \\ $$
Answered by A5T last updated on 10/Apr/24
![log_2 [(−1+(√(2^x −3)))^2 +2(−1+(√(2^x −3)))+4] =log_2 (2^x )=x ⇒f[(−1+(√(2^x −3)))^2 ]=x⇒f^(−1) (x)=(−1+(√(2^x −3)))^2 ⇒f^(−1) (13−4(√3))=(−1+(√(2^(13−4(√3)) −3)))^2 =2^(13−4(√3)) −2−2(√(2^(13−4(√3)) −3))](https://www.tinkutara.com/question/Q206258.png)
$${log}_{\mathrm{2}} \left[\left(−\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}^{{x}} −\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\left(−\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}^{{x}} −\mathrm{3}}\right)+\mathrm{4}\right] \\ $$$$={log}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}^{{x}} \right)={x} \\ $$$$\Rightarrow{f}\left[\left(−\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}^{{x}} −\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} \right]={x}\Rightarrow{f}^{−\mathrm{1}} \left({x}\right)=\left(−\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}^{{x}} −\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow{f}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{13}−\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}\right)=\left(−\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}^{\mathrm{13}−\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}} −\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$=\mathrm{2}^{\mathrm{13}−\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}} −\mathrm{2}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}^{\mathrm{13}−\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}} −\mathrm{3}} \\ $$