Question Number 206637 by jshfnahdj last updated on 21/Apr/24
Answered by Frix last updated on 21/Apr/24
$${x}^{{y}} \:\mathrm{with}\:{x},\:{y}\:\in\mathbb{C} \\ $$$$\mathrm{We}\:\mathrm{need}\:{x}={r}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} \:\mathrm{and}\:{y}={a}+{b}\mathrm{i}\:\Rightarrow \\ $$$${x}^{{y}} =\left({r}\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta} \right)^{{a}+{b}\mathrm{i}} ={r}^{{a}+{b}\mathrm{i}} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta\left({a}+{b}\mathrm{i}\right)} = \\ $$$$={r}^{{a}} {r}^{\mathrm{i}{b}} \mathrm{e}^{−{b}\theta} \mathrm{e}^{\mathrm{i}{a}\theta} =\mathrm{e}^{{a}\mathrm{ln}\:{r}} \mathrm{e}^{\mathrm{i}{b}\mathrm{ln}\:{r}} \mathrm{e}^{−{b}\theta} \mathrm{e}^{\mathrm{i}{a}\theta} = \\ $$$$=\mathrm{e}^{{a}\mathrm{ln}\:{r}\:−{b}\theta} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\left({b}\mathrm{ln}\:{r}\:+{a}\theta\right)} = \\ $$$$=\mathrm{e}^{{a}\mathrm{ln}\:{r}\:−{b}\theta} \left(\mathrm{cos}\:\left({b}\mathrm{ln}\:{r}\:+{a}\theta\right)\:+\mathrm{i}\:\mathrm{sin}\:\left({b}\mathrm{ln}\:{r}\:+{a}\theta\right)\right) \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{1}−\mathrm{3i}=\sqrt{\mathrm{10}}\mathrm{e}^{−\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \:\mathrm{3}} \\ $$$$\Rightarrow\:\left(\mathrm{1}−\mathrm{3i}\right)^{−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\mathrm{i}} = \\ $$$$=\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{3tan}^{−\mathrm{1}} \:\mathrm{3}}{\mathrm{2}}} \left(\mathrm{cos}\:\frac{\mathrm{3ln}\:\mathrm{10}}{\mathrm{4}}\:−\mathrm{i}\:\mathrm{sin}\:\frac{\mathrm{3ln}\:\mathrm{20}}{\mathrm{4}}\right)\approx \\ $$$$\approx−.\mathrm{0238822}−.\mathrm{151706i} \\ $$