Question Number 206997 by efronzo1 last updated on 03/May/24
$$\mathrm{Given}\:\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} =\:\mathrm{3}−\mathrm{6a}_{\mathrm{n}} \:\mathrm{and}\:\mathrm{a}_{\mathrm{4}} =−\mathrm{9} \\ $$$$\:\mathrm{Find}\:\mathrm{a}_{\mathrm{n}} =?\: \\ $$
Answered by mr W last updated on 04/May/24
$${a}_{{n}+\mathrm{1}} +\mathrm{6}{a}_{{n}} =\mathrm{3} \\ $$$${let}\:{a}_{{n}} ={b}_{{n}} +{k} \\ $$$${b}_{{n}+\mathrm{1}} +{k}+\mathrm{6}\left({b}_{{n}} +{k}\right)=\mathrm{3} \\ $$$${b}_{{n}+\mathrm{1}} +\mathrm{6}{b}_{{n}} =\mathrm{3}−\mathrm{7}{k}\overset{!} {=}\mathrm{0}\:\Rightarrow{k}=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{7}} \\ $$$${b}_{{n}} =−\mathrm{6}{b}_{{n}−\mathrm{1}} =\left(−\mathrm{6}\right)^{\mathrm{2}} {b}_{{n}−\mathrm{2}} =…=\left(−\mathrm{6}\right)^{{n}−\mathrm{4}} {b}_{\mathrm{4}} \\ $$$${a}_{{n}} −{k}=\left(−\mathrm{6}\right)^{{n}−\mathrm{4}} \left({a}_{\mathrm{4}} −{k}\right) \\ $$$${a}_{{n}} =\left(−\mathrm{6}\right)^{{n}−\mathrm{4}} \left({a}_{\mathrm{4}} −{k}\right)+{k} \\ $$$${a}_{{n}} =\left(−\mathrm{6}\right)^{{n}−\mathrm{4}} \left(−\mathrm{9}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{7}}\right)+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{7}} \\ $$$$\Rightarrow{a}_{{n}} =\frac{\mathrm{11}\left(−\mathrm{6}\right)^{{n}−\mathrm{3}} +\mathrm{3}}{\mathrm{7}} \\ $$
Commented by efronzo1 last updated on 03/May/24
$$\:\Rightarrow\mathrm{a}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} =\:\mathrm{b}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} +\mathrm{k} \\ $$$$\:\Rightarrow\mathrm{3}−\mathrm{a}_{\mathrm{n}} =\:\mathrm{b}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} +\mathrm{k} \\ $$$$\:\Rightarrow\mathrm{3}−\left(\mathrm{b}_{\mathrm{n}} +\mathrm{k}\right)=\:\mathrm{b}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} +\mathrm{k} \\ $$$$\:\:\Rightarrow\mathrm{b}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} +\mathrm{b}_{\mathrm{n}} =\:\mathrm{3}−\mathrm{2k}\: \\ $$
Commented by mr W last updated on 03/May/24
$${but}\:{your}\:{question}\:{is} \\ $$$$\:\Rightarrow\mathrm{3}−\mathrm{6a}_{\mathrm{n}} =\:\mathrm{b}_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} +\mathrm{k} \\ $$
Commented by efronzo1 last updated on 03/May/24
$$\mathrm{why}\:\mathrm{3}−\mathrm{7k}=\mathrm{0}\:? \\ $$
Commented by mr W last updated on 03/May/24
$${we}\:{just}\:{set}\:\mathrm{3}−\mathrm{7}{k}=\mathrm{0}\:{such}\:{that} \\ $$$${b}_{{n}} \:{becomes}\:{an}\:{easy}\:{G}.{P}.: \\ $$$${b}_{{n}} =−\mathrm{6}{b}_{{n}−\mathrm{1}} \\ $$
Commented by mathzup last updated on 03/May/24
$${the}\:{method}\:{of}\:{sir}\:{mrw}\:{is}\:{correct} \\ $$$$ \\ $$
Answered by mathzup last updated on 03/May/24
$$\Rightarrow{a}_{{n}+\mathrm{1}} +\mathrm{6}{a}_{{n}} −\mathrm{3}=\mathrm{0} \\ $$$${he}\rightarrow{r}+\mathrm{6}=\mathrm{0}\:\Rightarrow{r}=−\mathrm{6}\:\Rightarrow{a}_{{n}} =\lambda\left(−\mathrm{6}\right)^{{n}} \:+\rho \\ $$$${a}_{\mathrm{4}} =\lambda\left(−\mathrm{6}\right)^{\mathrm{4}} +\rho \\ $$$${a}_{\mathrm{5}} =\mathrm{3}−\mathrm{6}{a}_{\mathrm{4}} =\mathrm{3}−\mathrm{6}\left(−\mathrm{9}\right)=\mathrm{3}+\mathrm{6}.\mathrm{9} \\ $$$$=\mathrm{57}=\lambda\left(−\mathrm{6}\right)^{\mathrm{5}} \:+\rho\:\:{we}\:{get}\:{the}\:{system} \\ $$$$\begin{cases}{\left(−\mathrm{6}\right)^{\mathrm{4}} \lambda+\rho\:=−\mathrm{9}}\\{\left(−\mathrm{6}\right)^{\mathrm{5}} \lambda\:+\rho\:=\mathrm{57}\:\:\Rightarrow}\end{cases} \\ $$$$\left(\left(−\mathrm{6}\right)^{\mathrm{5}} −\left(−\mathrm{6}\right)^{\mathrm{4}} \right)\lambda=\mathrm{57}+\mathrm{9}\:=\mathrm{66}\:\Rightarrow \\ $$$$\lambda=\frac{\mathrm{66}}{−\mathrm{6}^{\mathrm{5}} −\mathrm{6}^{\mathrm{4}} }=−\frac{\mathrm{66}}{\mathrm{6}^{\mathrm{4}} +\mathrm{6}^{\mathrm{5}} }=−\frac{\mathrm{66}}{\mathrm{6}^{\mathrm{4}} ×\mathrm{7}} \\ $$$$\rho=−\mathrm{9}−\mathrm{6}^{\mathrm{4}} \:\lambda\:=−\mathrm{9}+\mathrm{6}^{\mathrm{4}} .\frac{\mathrm{66}}{\mathrm{6}^{\mathrm{4}} .\mathrm{7}} \\ $$$$=−\mathrm{9}+\frac{\mathrm{66}}{\mathrm{7}}\:\:{rest}\:{to}\:{finich}\:{to}\:{calculus}… \\ $$