Question Number 207753 by efronzo1 last updated on 25/May/24
Answered by Berbere last updated on 25/May/24
$${A}=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{2023}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}\left({k}+\mathrm{1}\right)}=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{2023}} {\sum}}\frac{{k}+\mathrm{1}−{k}}{{k}\left({k}+\mathrm{1}\right)}=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{2023}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}}−\frac{\mathrm{1}}{{k}+\mathrm{1}} \\ $$$$=\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2024}}=\frac{\mathrm{2023}}{\mathrm{2024}} \\ $$$${B}=\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{1011}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1013}+{k}}=\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{2024}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}}−\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{1012}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}}={H}_{\mathrm{2024}} −{H}_{\mathrm{1012}} \\ $$$$\frac{{A}}{{B}}=\frac{\mathrm{2023}}{\mathrm{2024}\left({H}_{\mathrm{2024}} −{H}_{\mathrm{1012}} \right)} \\ $$$$ \\ $$