Question Number 207879 by efronzo1 last updated on 29/May/24
Answered by mr W last updated on 29/May/24
$${f}\left({x}\right)={x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6}{x}+\mathrm{12}=\left({x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\geqslant\mathrm{3} \\ $$$${f}\left({a}\right)=\mathrm{65539}={a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6}{a}+\mathrm{12} \\ $$$$\Rightarrow{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6}{a}−\mathrm{65527}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow{a}=\mathrm{3}+\mathrm{256}=\mathrm{259}\:\:\:\:\:\left(\mathrm{3}−\mathrm{256}<\mathrm{3}\:{rejected}\right) \\ $$$${f}\left({b}\right)={a}=\mathrm{259}={b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6}{b}+\mathrm{12} \\ $$$$\Rightarrow{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6}{b}−\mathrm{247}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow{b}=\mathrm{3}+\mathrm{16}=\mathrm{19}\:\:\:\:\:\left(\mathrm{3}−\mathrm{16}<\mathrm{3}\:{rejected}\right) \\ $$$${f}\left({c}\right)={b}=\mathrm{19}={c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6}{c}+\mathrm{12} \\ $$$$\Rightarrow{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6}{c}−\mathrm{7}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow{c}=\mathrm{3}+\mathrm{4}=\mathrm{7}\:\:\:\:\:\:\left(\mathrm{3}−\mathrm{4}<\mathrm{3}\:{rejected}\right) \\ $$$${f}\left({f}\left({f}\left({f}\left({x}\right)\right)\right)\right)=\mathrm{65539} \\ $$$${f}\left({f}\left({f}\left({x}\right)\right)\right)={a} \\ $$$${f}\left({f}\left({x}\right)\right)={b} \\ $$$${f}\left({x}\right)={c}=\mathrm{7}={x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6}{x}+\mathrm{12} \\ $$$$\Rightarrow{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6}{x}+\mathrm{5}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow{x}=\mathrm{1},\:\mathrm{5}\:\checkmark \\ $$
Commented by efronzo1 last updated on 29/May/24
$$\:\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6x}+\mathrm{5}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}−\mathrm{5}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\mathrm{x}=\mathrm{1}\:\mathrm{and}\:\mathrm{x}=\mathrm{5}\: \\ $$
Commented by mr W last updated on 29/May/24
$${yes},\:{thanks}! \\ $$