Question Number 209116 by alcohol last updated on 02/Jul/24
Answered by A5T last updated on 02/Jul/24
$${WLOG},\:{let}\:{a}\geqslant{b}\geqslant{c} \\ $$$$\mathrm{1}=\frac{\mathrm{1}}{{a}}+\frac{\mathrm{1}}{{b}}+\frac{\mathrm{1}}{{c}}\leqslant\frac{\mathrm{3}}{{c}}\Rightarrow{c}\leqslant\mathrm{3} \\ $$$${when}\:{c}=\mathrm{3};\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}=\frac{\mathrm{1}}{{a}}+\frac{\mathrm{1}}{{b}}\leqslant\frac{\mathrm{2}}{{b}}\Rightarrow{b}\leqslant\mathrm{3} \\ $$$${b}=\mathrm{3}\Rightarrow{a}=\mathrm{3};\:{b}=\mathrm{2}\Rightarrow{a}=\mathrm{6}\:\:\:\rightarrow\leftarrow \\ $$$$\Rightarrow\left({a},{b},{c}\right)=\left(\mathrm{3},\mathrm{3},\mathrm{3}\right) \\ $$$${when}\:{c}=\mathrm{2};\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}=\frac{\mathrm{1}}{{a}}+\frac{\mathrm{1}}{{b}}\leqslant\frac{\mathrm{2}}{{b}}\Rightarrow{b}\leqslant\mathrm{4} \\ $$$${b}=\mathrm{4}\Rightarrow{a}=\mathrm{4};\:{b}=\mathrm{3}\Rightarrow{a}=\mathrm{6}\Rightarrow\left({a},{b},{c}\right)=\left(\mathrm{4},\mathrm{4},\mathrm{2}\right);\left(\mathrm{6},\mathrm{3},\mathrm{2}\right) \\ $$$${when}\:{c}=\mathrm{1};\:\frac{\mathrm{1}}{{a}}+\frac{\mathrm{1}}{{b}}=\mathrm{0}\:\:\:\:\:{X} \\ $$$$\Rightarrow\left({a},{b},{c}\right)=\left(\mathrm{3},\mathrm{3},\mathrm{3}\right);\left(\mathrm{4},\mathrm{4},\mathrm{2}\right);\left(\mathrm{6},\mathrm{3},\mathrm{2}\right) \\ $$