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Evaluate-lim-n-k-0-n-1-cos-2-k-pi-2-n-1-

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Question Number 209356 by mnjuly1970 last updated on 08/Jul/24
Evaluate : lim_( n→∞) Π_(k=0) ^(n−1) cos (((2^( k) .π)/(2^( n) −1)) ) = ?
$$ \\ $$$$\:\:\:\:\:{Evaluate}\:: \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{lim}_{\:{n}\rightarrow\infty} \:\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\prod}}\:{cos}\:\left(\frac{\mathrm{2}^{\:{k}} .\pi}{\mathrm{2}^{\:{n}} \:−\mathrm{1}}\:\right)\:\:=\:?\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$$$ \\ $$
Answered by mr W last updated on 08/Jul/24
P_n =Π_(k=0) ^(n−1) cos ((2^k π)/(2^n −1))=cos (π/(2^n −1)) cos ((2π)/(2^n −1)) ... cos ((2^(n−1) π)/(2^n −1)) 2 sin (π/(2^n −1))P_n =2 sin (π/(2^n −1)) cos (π/(2^n −1)) cos ((2π)/(2^n −1)) ... cos ((2^(n−1) π)/(2^n −1)) 2 sin (π/(2^n −1))P_n =sin ((2π)/(2^n −1)) cos ((2π)/(2^n −1)) ... cos ((2^(n−1) π)/(2^n −1)) 2^2 sin (π/(2^n −1))P_n =2 sin ((2π)/(2^n −1)) cos ((2π)/(2^n −1)) ... cos ((2^(n−1) π)/(2^n −1)) 2^2 sin (π/(2^n −1))P_n =sin ((2^2 π)/(2^n −1)) ... cos ((2^(n−1) π)/(2^n −1)) ...... 2^(n−1) sin (π/(2^n −1))P_n =sin ((2^(n−1) π)/(2^n −1)) cos ((2^(n−1) π)/(2^n −1)) 2^n sin (π/(2^n −1))P_n =2 sin ((2^(n−1) π)/(2^n −1)) cos ((2^(n−1) π)/(2^n −1)) 2^n sin (π/(2^n −1))P_n =sin ((2^n π)/(2^n −1)) ⇒P_n =((sin ((2^n π)/(2^n −1)))/(2^n sin (π/(2^n −1))))=((sin (π+(π/(2^n −1))))/(2^n sin (π/(2^n −1)))) =−((sin (π/(2^n −1)))/(2^n sin (π/(2^n −1))))=−(1/2^n ) lim_(n→∞) P_n =0
$${P}_{{n}} =\underset{{k}=\mathrm{0}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\prod}}\mathrm{cos}\:\frac{\mathrm{2}^{{k}} \pi}{\mathrm{2}^{{n}} −\mathrm{1}}=\mathrm{cos}\:\frac{\pi}{\mathrm{2}^{{n}} −\mathrm{1}}\:\mathrm{cos}\:\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{2}^{{n}} −\mathrm{1}}\:…\:\mathrm{cos}\:\frac{\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} \pi}{\mathrm{2}^{{n}} −\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{2}\:\mathrm{sin}\:\frac{\pi}{\mathrm{2}^{{n}} −\mathrm{1}}{P}_{{n}} =\mathrm{2}\:\mathrm{sin}\:\frac{\pi}{\mathrm{2}^{{n}} −\mathrm{1}}\:\mathrm{cos}\:\frac{\pi}{\mathrm{2}^{{n}} −\mathrm{1}}\:\mathrm{cos}\:\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{2}^{{n}} −\mathrm{1}}\:…\:\mathrm{cos}\:\frac{\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} \pi}{\mathrm{2}^{{n}} −\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{2}\:\mathrm{sin}\:\frac{\pi}{\mathrm{2}^{{n}} −\mathrm{1}}{P}_{{n}} =\mathrm{sin}\:\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{2}^{{n}} −\mathrm{1}}\:\mathrm{cos}\:\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{2}^{{n}} −\mathrm{1}}\:…\:\mathrm{cos}\:\frac{\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} \pi}{\mathrm{2}^{{n}} −\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{2}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{sin}\:\frac{\pi}{\mathrm{2}^{{n}} −\mathrm{1}}{P}_{{n}} =\mathrm{2}\:\mathrm{sin}\:\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{2}^{{n}} −\mathrm{1}}\:\mathrm{cos}\:\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{2}^{{n}} −\mathrm{1}}\:…\:\mathrm{cos}\:\frac{\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} \pi}{\mathrm{2}^{{n}} −\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{2}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{sin}\:\frac{\pi}{\mathrm{2}^{{n}} −\mathrm{1}}{P}_{{n}} =\mathrm{sin}\:\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} \pi}{\mathrm{2}^{{n}} −\mathrm{1}}\:…\:\mathrm{cos}\:\frac{\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} \pi}{\mathrm{2}^{{n}} −\mathrm{1}} \\ $$$$…… \\ $$$$\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} \:\mathrm{sin}\:\frac{\pi}{\mathrm{2}^{{n}} −\mathrm{1}}{P}_{{n}} =\mathrm{sin}\:\frac{\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} \pi}{\mathrm{2}^{{n}} −\mathrm{1}}\:\mathrm{cos}\:\frac{\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} \pi}{\mathrm{2}^{{n}} −\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{2}^{{n}} \:\mathrm{sin}\:\frac{\pi}{\mathrm{2}^{{n}} −\mathrm{1}}{P}_{{n}} =\mathrm{2}\:\mathrm{sin}\:\frac{\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} \pi}{\mathrm{2}^{{n}} −\mathrm{1}}\:\mathrm{cos}\:\frac{\mathrm{2}^{{n}−\mathrm{1}} \pi}{\mathrm{2}^{{n}} −\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{2}^{{n}} \:\mathrm{sin}\:\frac{\pi}{\mathrm{2}^{{n}} −\mathrm{1}}{P}_{{n}} =\mathrm{sin}\:\frac{\mathrm{2}^{{n}} \pi}{\mathrm{2}^{{n}} −\mathrm{1}} \\ $$$$\Rightarrow{P}_{{n}} =\frac{\mathrm{sin}\:\frac{\mathrm{2}^{{n}} \pi}{\mathrm{2}^{{n}} −\mathrm{1}}}{\mathrm{2}^{{n}} \:\mathrm{sin}\:\frac{\pi}{\mathrm{2}^{{n}} −\mathrm{1}}}=\frac{\mathrm{sin}\:\left(\pi+\frac{\pi}{\mathrm{2}^{{n}} −\mathrm{1}}\right)}{\mathrm{2}^{{n}} \:\mathrm{sin}\:\frac{\pi}{\mathrm{2}^{{n}} −\mathrm{1}}} \\ $$$$\:\:\:=−\frac{\mathrm{sin}\:\frac{\pi}{\mathrm{2}^{{n}} −\mathrm{1}}}{\mathrm{2}^{{n}} \:\mathrm{sin}\:\frac{\pi}{\mathrm{2}^{{n}} −\mathrm{1}}}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{n}} } \\ $$$$\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}{P}_{{n}} =\mathrm{0} \\ $$
Commented by mnjuly1970 last updated on 08/Jul/24
thanks alot sir W so excellent solution ⋛
$${thanks}\:{alot}\:\:{sir}\:\:{W} \\ $$$$\:\:{so}\:{excellent}\:{solution}\:\underline{\underbrace{\lesseqgtr}} \\ $$

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