Question Number 209670 by mokys last updated on 18/Jul/24
$${find}\:{the}\:{sum}\:{of}\:{sin}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}\right)+…+{sin}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{90}\right) \\ $$
Answered by Ar Brandon last updated on 18/Jul/24
$${S}=\underset{\theta=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{90}} {\sum}}\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \theta \\ $$$$\:\:\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\underset{\theta=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{44}} {\sum}}\left(\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \theta+\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \theta\right) \\ $$$$\:\:\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\underset{\theta=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{44}°} {\sum}}\left(\mathrm{1}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\mathrm{45}=\frac{\mathrm{91}}{\mathrm{2}} \\ $$
Commented by mokys last updated on 18/Jul/24
$${thank}\:{you}\:{sir}\:{but}\:{can}\:{you}\:{give}\:{me}\:{how}\: \\ $$$$ \\ $$$$\underset{\theta=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{90}} {\sum}}\:{sin}^{\mathrm{2}} \theta\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:+\:\underset{\theta=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{44}^{°} } {\sum}}\:\left({sin}^{\mathrm{2}} \theta\:+\:{cos}^{\mathrm{2}} \theta\right)\: \\ $$
Commented by Ar Brandon last updated on 18/Jul/24
$$\underset{\theta=\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{90}} {\sum}}\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \theta \\ $$$$=\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}\right)+\centerdot\centerdot\centerdot+\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{45}°\right)+\centerdot\centerdot\centerdot+\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{90}°\right) \\ $$$$=\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}\right)+\centerdot\centerdot\centerdot+\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{44}°\right)+\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{46}°\right)+\centerdot\centerdot\centerdot+\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{90}°\right) \\ $$$$=\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}\right)+\centerdot\centerdot\centerdot+\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{44}°\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{44}°\right)+\centerdot\centerdot\centerdot+\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{0}°\right) \\ $$$$=\underset{\theta=\mathrm{0}°} {\overset{\mathrm{44}°} {\sum}}\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \theta+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\underset{\theta=\mathrm{0}°} {\overset{\mathrm{44}°} {\sum}}\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \theta=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\underset{\theta=\mathrm{0}°} {\overset{\mathrm{44}°} {\sum}}\left(\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \theta+\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \theta\right) \\ $$
Answered by Sutrisno last updated on 18/Jul/24
$${sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{1}+{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{2}+{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{3}+….+{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{45}+…{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{87}+{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{88}+{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{89}+{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{90} \\ $$$${cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{89}+{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{88}+{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{87}+….+{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{45}+…{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{87}+{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{88}+{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{89}+{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{90} \\ $$$$\left({cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{89}+{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{89}\right)+\left({cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{88}+{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{88}\right)+\left({cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{87}+{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{87}\right)+….+\left({cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{44}+{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{46}\right)+{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{45}+{sin}^{\mathrm{2}} \mathrm{90} \\ $$$$\left(\mathrm{1}+\mathrm{1}+\mathrm{1}+…+\mathrm{1}\right)+\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{45}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$