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x-2-3x-x-2-3x-1-7-2-2-sin-y-x-x-and-y-




Question Number 210581 by alusto22 last updated on 13/Aug/24
   { ((x^2 +3x−(√(x^2 +3x−1 = 7)))),((2(√2) sin y = x)) :}     x=?    and    y=?
$$\:\:\begin{cases}{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{x}−\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{x}−\mathrm{1}\:=\:\mathrm{7}}}\\{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\:\mathrm{sin}\:{y}\:=\:{x}}\end{cases} \\ $$$$\:\:\:{x}=?\:\:\:\:{and}\:\:\:\:{y}=? \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 14/Aug/24
x^2 +3x−(√(x^2 +3x−1)) =7  (√(x^2 +3x−1)) =t≥0  x^2 +3x=t^2 +1  t^2 +1−t=7  t^2 −t−6=0  (t−3)(t+2)=0  t=3 ✓, −2 ×  (√(x^2 +3x−1)) =3  x^2 +3x−1=9  x^2 +3x−10=0  (x+5)(x−2)=0  x=−5, 2 ✓  2(√2) sin y=x  2(√2) sin y=−5,2  sin y=−(5/(2(√2) )) , (2/(2(√2)))  sin y=−(5/(2(√2) )) , (1/( (√2)))  y=sin^(−1) (−(5/(2(√2) )))∈C ✓  y=sin^(−1) ((1/( (√2))))=(π/4)+2π ✓  (x,y)=(−5,sin^(−1) (−(5/(2(√2) )))),(2,(π/4)+2π)
$${x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{x}−\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{x}−\mathrm{1}}\:=\mathrm{7} \\ $$$$\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{x}−\mathrm{1}}\:={t}\geqslant\mathrm{0} \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{x}={t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1} \\ $$$${t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}−{t}=\mathrm{7} \\ $$$${t}^{\mathrm{2}} −{t}−\mathrm{6}=\mathrm{0} \\ $$$$\left({t}−\mathrm{3}\right)\left({t}+\mathrm{2}\right)=\mathrm{0} \\ $$$${t}=\mathrm{3}\:\checkmark,\:−\mathrm{2}\:× \\ $$$$\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{x}−\mathrm{1}}\:=\mathrm{3} \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{x}−\mathrm{1}=\mathrm{9} \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{x}−\mathrm{10}=\mathrm{0} \\ $$$$\left({x}+\mathrm{5}\right)\left({x}−\mathrm{2}\right)=\mathrm{0} \\ $$$${x}=−\mathrm{5},\:\mathrm{2}\:\checkmark \\ $$$$\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\:\mathrm{sin}\:{y}={x} \\ $$$$\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\:\mathrm{sin}\:{y}=−\mathrm{5},\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{sin}\:{y}=−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\:}\:,\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}} \\ $$$$\mathrm{sin}\:{y}=−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\:}\:,\:\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}} \\ $$$${y}=\mathrm{sin}^{−\mathrm{1}} \left(−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\:}\right)\in\mathbb{C}\:\checkmark \\ $$$${y}=\mathrm{sin}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\right)=\frac{\pi}{\mathrm{4}}+\mathrm{2}\pi\:\checkmark \\ $$$$\left({x},{y}\right)=\left(−\mathrm{5},\mathrm{sin}^{−\mathrm{1}} \left(−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\:}\right)\right),\left(\mathrm{2},\frac{\pi}{\mathrm{4}}+\mathrm{2}\pi\right) \\ $$

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