If-x-2-ax-18-x-2-7x-2b-x-c-x-5-Find-a-b-c-

Question Number 210934 by hardmath last updated on 22/Aug/24

$$\mathrm{If}\:\:\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{ax}\:−\:\mathrm{18}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{7x}\:+\:\mathrm{2b}}\:\:=\:\:\frac{\mathrm{x}\:−\:\mathrm{c}}{\mathrm{x}\:+\:\mathrm{5}} \\ $$$$\mathrm{Find}\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{a}}\:+\:\boldsymbol{\mathrm{b}}\:+\:\boldsymbol{\mathrm{c}}\:=\:? \\ $$

Answered by A5T last updated on 22/Aug/24

(x+5)(x)+2(x+5)+2b−10⇒2b−10=0⇒b=5 ⇒((x^2 +ax−18)/(x^2 +7x+10))=((x^2 +ax−18)/((x+5)(x+2)))⇒x+2∣x^2 +ax−18 ⇒(−2)^2 +a(−2)−18=0⇒a=−7 ⇒x^2 +ax−18=x^2 −7x−18=(x−9)(x+2) ⇒x−c=x−9⇒c=9⇒a+b+c=−7+5+9=7

$$\left({x}+\mathrm{5}\right)\left({x}\right)+\mathrm{2}\left({x}+\mathrm{5}\right)+\mathrm{2}{b}−\mathrm{10}\Rightarrow\mathrm{2}{b}−\mathrm{10}=\mathrm{0}\Rightarrow{b}=\mathrm{5} \\ $$$$\Rightarrow\frac{{x}^{\mathrm{2}} +{ax}−\mathrm{18}}{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{7}{x}+\mathrm{10}}=\frac{{x}^{\mathrm{2}} +{ax}−\mathrm{18}}{\left({x}+\mathrm{5}\right)\left({x}+\mathrm{2}\right)}\Rightarrow{x}+\mathrm{2}\mid{x}^{\mathrm{2}} +{ax}−\mathrm{18} \\ $$$$\Rightarrow\left(−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} +{a}\left(−\mathrm{2}\right)−\mathrm{18}=\mathrm{0}\Rightarrow{a}=−\mathrm{7} \\ $$$$\Rightarrow{x}^{\mathrm{2}} +{ax}−\mathrm{18}={x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7}{x}−\mathrm{18}=\left({x}−\mathrm{9}\right)\left({x}+\mathrm{2}\right) \\ $$$$\Rightarrow{x}−{c}={x}−\mathrm{9}\Rightarrow{c}=\mathrm{9}\Rightarrow{a}+{b}+{c}=−\mathrm{7}+\mathrm{5}+\mathrm{9}=\mathrm{7} \\ $$

Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 23/Aug/24

((x^2 + ax − 18)/(x^2 + 7x + 2b)) = ((x − c)/(x + 5)) ; a + b + c = ? ((x^2 + ax − 18)/(x^2 + 7x + 2b)) = ((x − c)/(x + 5)) ∙((x+d)/(x+d)) { ((x^2 + ax − 18=x^2 +(d−c)x−cd)),((x^2 + 7x + 2b=x^2 +(5+d)x+5d)) :} 5+d=7⇒d=2 { ((x^2 + ax − 18=x^2 +(2−c)x−2c)),((x^2 + 7x + 2b=x^2 +7x+10)) :} { ((2c=18⇒c=9)),((2b=10⇒b=5)),((a=2−c⇒a=2−9=−7)) :} a+b+c=−7+5+9=7

$$\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{ax}\:−\:\mathrm{18}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{7x}\:+\:\mathrm{2b}}\:\:=\:\:\frac{\mathrm{x}\:−\:\mathrm{c}}{\mathrm{x}\:+\:\mathrm{5}}\:;\:\mathrm{a}\:+\:\mathrm{b}\:+\:\mathrm{c}\:=\:? \\ $$$$\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{ax}\:−\:\mathrm{18}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{7x}\:+\:\mathrm{2b}}\:\:=\:\:\frac{\mathrm{x}\:−\:\mathrm{c}}{\mathrm{x}\:+\:\mathrm{5}}\:\centerdot\frac{\mathrm{x}+\mathrm{d}}{\mathrm{x}+\mathrm{d}} \\ $$$$\begin{cases}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{ax}\:−\:\mathrm{18}=\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{d}−\mathrm{c}\right)\mathrm{x}−\mathrm{cd}}\\{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{7x}\:+\:\mathrm{2b}=\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{5}+\mathrm{d}\right)\mathrm{x}+\mathrm{5d}}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{5}+\mathrm{d}=\mathrm{7}\Rightarrow\mathrm{d}=\mathrm{2} \\ $$$$\begin{cases}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{ax}\:−\:\mathrm{18}=\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{2}−\mathrm{c}\right)\mathrm{x}−\mathrm{2c}}\\{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{7x}\:+\:\mathrm{2b}=\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{7x}+\mathrm{10}}\end{cases} \\ $$$$\begin{cases}{\mathrm{2c}=\mathrm{18}\Rightarrow\mathrm{c}=\mathrm{9}}\\{\mathrm{2b}=\mathrm{10}\Rightarrow\mathrm{b}=\mathrm{5}}\\{\mathrm{a}=\mathrm{2}−\mathrm{c}\Rightarrow\mathrm{a}=\mathrm{2}−\mathrm{9}=−\mathrm{7}}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}=−\mathrm{7}+\mathrm{5}+\mathrm{9}=\mathrm{7} \\ $$

Commented by RojaTaniya last updated on 26/Aug/24

$$\:{Sir},\:{nice}\:{solution}. \\ $$

Commented by Rasheed.Sindhi last updated on 27/Aug/24

��

Commented by hardmath last updated on 27/Aug/24

$$\mathrm{thankyou}\:\mathrm{dear}\:\mathrm{professor} \\ $$

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