Question Number 211251 by hardmath last updated on 01/Sep/24
Commented by a.lgnaoui last updated on 04/Sep/24
Commented by a.lgnaoui last updated on 05/Sep/24
![((sin C)/(MN))=((sin M)/(BC−AB))=((sin N)/(CD−AD))(1) sin C=((DF)/(FC)) if ∡D=90 then FC=(√(DF^2 +CD^2 )) ((sin C)/(BE))=((sin E)/(BC)) =((AD)/(AE.BC))=((AD)/((BE−AB)BC)) sin C=((BE.AD)/((BE−AB).BC)) BC−AB=a CD−AD=b MN^2 =a^2 +b^2 −2abcos C (i) (1)⇒ ((sin M)/(sin N ))=(a/b) ((sin C)/(sin M))=((MN)/a) ((MN^2 )/a^2 )=((sin^2 C)/(sin^2 M)) (ii) (((i))/b^2 )⇒ ((MN^2 )/b^2 )=[((a/b))^2 +1−2(a/b)cos C (I) (I/((ii)))=(a^2 /b^2 )=(([((a/b))^2 −((2acos C)/b)+1]sin^2 M)/(sin^2 C)) M=∡NMC sin M=(a/b)sin N(N=∡MnC) or MNsin M=BC−AB)sin C and MNcos M+(BC−AB)cos C=CD−AD dinc { ((MNsin M=asin C)),((MNcos M=b−acos C)) :} tan M=((asin C)/(b−acos C)) (1/(cos^2 M))=1+(((a/b)sin^2 C)/((1−(a/b)cos C)^2 )) (1/(sin^2 M))=1+(((1−(a/b)cos C)^2 )/((a/b)sin^2 C)) =(((a/b)sin^2 C+(1−(a/b)cos C)^2 )/((a/b)sin^2 C)) soit ((a/b))=((((a/b)−((2acos C)/b)+1))/([(a/b)sin^2 C+(1−(a/b)cos C)]^2 )) soit x=((x(1−2cos C)+1)/([x(1−cos^2 C)+(1−xcos C)]^2 )) posonz cos C=c c−2xc+1= x^2 (1−c^2 )^2 +(1−xc)^2 +2x(1−c^2 )(1−xc) =x^2 (1+c^4 −/2c^2 )+1+x/c^2 −2/xc+ 2x(1−x/c−c^2 /+x/c^3 ) =(x^2 +2x+1)+x^2 c^2 (c^2 −2)−2x^2 c +2x^2 c^3 −2xc−xc^2 =(x+1)^2 +x^2 [c^2 (c^2 −2)−2c+2c^3 ] −x(c^2 +c) = x^2 (c^4 +2c^3 −2c^2 −2c+1)−x(c^2 −c−2)−c=0 x^2 −(((c^2 −c−2)/(c^4 +2c^3 −2c^2 −2c+1)))x−((c/(c^4 +2c^3 −2c^2 −2c+1)))=0 △=c^2 −c−2)^2 +4c(c^4 +2c^3 −2c^2 −2c+1)=0 c^4 +c^2 +4−2c^3 +4c−4c^2 +4c^5 −8c^4 −8c^2 +4c=0 4c^5 −7c^4 −2c^3 −11c^2 +8c+4=0 c=0,838157... and c<0 alors: x=((−b)/(2a))=((2+c−c^2 )/(2(c^4 +2c^3 −2c^2 −2c+1))) for c=cosC=−0, 338468 soit C=90+56,97° { (( 2+c−c^2 =1,161532)),(( 2(c^4 +2c^3 −2c^2 −2c+1)=1,1706...)) :} alors x=1 ⇒ log_(2024) (((BC−AC)/(CD−AD)))=0 Donc : BC−AC=CD−AD](https://www.tinkutara.com/question/Q211293.png)
$$\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{C}}{\mathrm{MN}}=\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{M}}{\mathrm{BC}−\mathrm{AB}}=\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{N}}{\mathrm{CD}−\mathrm{AD}}\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{sin}\:\mathrm{C}=\frac{\mathrm{DF}}{\mathrm{FC}}\:\:\mathrm{if}\:\:\measuredangle\mathrm{D}=\mathrm{90}\:\:\mathrm{then} \\ $$$$\mathrm{FC}=\sqrt{\mathrm{DF}^{\mathrm{2}} +\mathrm{CD}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{C}}{\mathrm{BE}}=\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{E}}{\mathrm{BC}}\:\:\:\:=\frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{AE}.\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{AD}}{\left(\mathrm{BE}−\mathrm{AB}\right)\mathrm{BC}} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{sin}\:\mathrm{C}=\frac{\mathrm{BE}.\mathrm{AD}}{\left(\mathrm{BE}−\mathrm{AB}\right).\mathrm{BC}} \\ $$$$\mathrm{BC}−\mathrm{AB}=\mathrm{a}\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{CD}−\mathrm{AD}=\mathrm{b} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{MN}^{\mathrm{2}} =\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2abcos}\:\mathrm{C}\:\:\:\left(\boldsymbol{\mathrm{i}}\right) \\ $$$$ \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)\Rightarrow\:\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{M}}{\mathrm{sin}\:\mathrm{N}\:}=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}} \\ $$$$\:\:\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{C}}{\mathrm{sin}\:\mathrm{M}}=\frac{\mathrm{MN}}{\mathrm{a}} \\ $$$$\:\:\frac{\mathrm{MN}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{C}}{\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{M}}\:\:\:\:\:\:\:\left(\mathrm{ii}\right) \\ $$$$ \\ $$$$\frac{\left(\boldsymbol{\mathrm{i}}\right)}{\boldsymbol{\mathrm{b}}^{\mathrm{2}} }\Rightarrow\:\:\frac{\mathrm{MN}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{b}^{\mathrm{2}} }=\left[\left(\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}−\mathrm{2}\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}\mathrm{cos}\:\mathrm{C}\:\:\left(\mathrm{I}\right)\right. \\ $$$$\frac{\mathrm{I}}{\left(\mathrm{ii}\right)}=\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{b}^{\mathrm{2}} }=\frac{\left[\left(\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}\right)^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{2acos}\:\mathrm{C}}{\mathrm{b}}+\mathrm{1}\right]\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{M}}{\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{C}} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{M}=\measuredangle\mathrm{NMC}\:\: \\ $$$$\mathrm{sin}\:\mathrm{M}=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}\mathrm{sin}\:\mathrm{N}\left(\mathrm{N}=\measuredangle\mathrm{MnC}\right) \\ $$$$\left.\mathrm{or}\:\:\:\:\mathrm{MNsin}\:\mathrm{M}=\mathrm{BC}−\mathrm{AB}\right)\mathrm{sin}\:\mathrm{C} \\ $$$$\mathrm{and}\:\:\mathrm{MNcos}\:\mathrm{M}+\left(\mathrm{BC}−\mathrm{AB}\right)\mathrm{cos}\:\mathrm{C}=\mathrm{CD}−\mathrm{AD} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{dinc}\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\begin{cases}{\mathrm{MNsin}\:\mathrm{M}=\mathrm{asin}\:\mathrm{C}}\\{\mathrm{MNcos}\:\mathrm{M}=\mathrm{b}−\mathrm{acos}\:\mathrm{C}}\end{cases} \\ $$$$ \\ $$$$\:\:\:\mathrm{tan}\:\mathrm{M}=\frac{\mathrm{asin}\:\mathrm{C}}{\mathrm{b}−\mathrm{acos}\:\mathrm{C}}\:\: \\ $$$$\:\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{M}}=\mathrm{1}+\frac{\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{C}}{\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}\mathrm{cos}\:\mathrm{C}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\:\:\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{M}}=\mathrm{1}+\frac{\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}\mathrm{cos}\:\mathrm{C}\right)^{\mathrm{2}} }{\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{C}} \\ $$$$\:\:\:\:=\frac{\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{C}+\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}\mathrm{cos}\:\mathrm{C}\right)^{\mathrm{2}} }{\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{C}} \\ $$$$\mathrm{soit} \\ $$$$ \\ $$$$\left(\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}\right)=\frac{\left(\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}−\frac{\mathrm{2acos}\:\mathrm{C}}{\mathrm{b}}+\mathrm{1}\right)}{\left[\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{C}+\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}\mathrm{cos}\:\mathrm{C}\right)\right]^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{soit}\: \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{x}=\frac{\mathrm{x}\left(\mathrm{1}−\mathrm{2cos}\:\mathrm{C}\right)+\mathrm{1}}{\left[\mathrm{x}\left(\mathrm{1}−\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{C}\right)+\left(\mathrm{1}−\mathrm{xcos}\:\mathrm{C}\right)\right]^{\mathrm{2}} } \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{posonz}\:\:\:\mathrm{cos}\:\mathrm{C}=\boldsymbol{\mathrm{c}} \\ $$$$ \\ $$$$\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{c}}−\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{xc}}+\mathrm{1}= \\ $$$$\:\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−\boldsymbol{\mathrm{c}}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{1}−\boldsymbol{\mathrm{xc}}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{x}}\left(\mathrm{1}−\boldsymbol{\mathrm{c}}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{1}−\boldsymbol{\mathrm{xc}}\right) \\ $$$$ \\ $$$$=\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}+\boldsymbol{\mathrm{c}}^{\mathrm{4}} −/\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{c}}^{\mathrm{2}} \right)+\mathrm{1}+\boldsymbol{\mathrm{x}}/\boldsymbol{\mathrm{c}}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}/\boldsymbol{\mathrm{xc}}+ \\ $$$$\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{x}}\left(\mathrm{1}−\boldsymbol{\mathrm{x}}/\boldsymbol{\mathrm{c}}−\boldsymbol{\mathrm{c}}^{\mathrm{2}} /+\boldsymbol{\mathrm{x}}/\boldsymbol{\mathrm{c}}^{\mathrm{3}} \right) \\ $$$$ \\ $$$$=\left(\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{x}}+\mathrm{1}\right)+\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}} \boldsymbol{\mathrm{c}}^{\mathrm{2}} \left(\boldsymbol{\mathrm{c}}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\right)−\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}} \boldsymbol{\mathrm{c}} \\ $$$$+\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}} \boldsymbol{\mathrm{c}}^{\mathrm{3}} −\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{xc}}−\boldsymbol{\mathrm{xc}}^{\mathrm{2}} \\ $$$$ \\ $$$$=\left(\boldsymbol{\mathrm{x}}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}} \left[\boldsymbol{\mathrm{c}}^{\mathrm{2}} \left(\boldsymbol{\mathrm{c}}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\right)−\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{c}}+\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{c}}^{\mathrm{3}} \right] \\ $$$$−\boldsymbol{\mathrm{x}}\left(\boldsymbol{\mathrm{c}}^{\mathrm{2}} +\boldsymbol{\mathrm{c}}\right) \\ $$$$=\:\:\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}} \left(\boldsymbol{\mathrm{c}}^{\mathrm{4}} +\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{c}}^{\mathrm{3}} −\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{c}}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{c}}+\mathrm{1}\right)−\boldsymbol{\mathrm{x}}\left(\boldsymbol{\mathrm{c}}^{\mathrm{2}} −\boldsymbol{\mathrm{c}}−\mathrm{2}\right)−\boldsymbol{\mathrm{c}}=\mathrm{0} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}} −\left(\frac{\boldsymbol{\mathrm{c}}^{\mathrm{2}} −\boldsymbol{\mathrm{c}}−\mathrm{2}}{\boldsymbol{\mathrm{c}}^{\mathrm{4}} +\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{c}}^{\mathrm{3}} −\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{c}}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{c}}+\mathrm{1}}\right)\boldsymbol{\mathrm{x}}−\left(\frac{\boldsymbol{\mathrm{c}}}{\boldsymbol{\mathrm{c}}^{\mathrm{4}} +\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{c}}^{\mathrm{3}} −\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{c}}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{c}}+\mathrm{1}}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$ \\ $$$$\left.\bigtriangleup=\mathrm{c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{c}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{4c}\left(\mathrm{c}^{\mathrm{4}} +\mathrm{2c}^{\mathrm{3}} −\mathrm{2c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2c}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{c}^{\mathrm{4}} +\mathrm{c}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}−\mathrm{2c}^{\mathrm{3}} +\mathrm{4c}−\mathrm{4c}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4c}^{\mathrm{5}} −\mathrm{8c}^{\mathrm{4}} \\ $$$$−\mathrm{8c}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4c}=\mathrm{0} \\ $$$$ \\ $$$$\:\:\:\mathrm{4c}^{\mathrm{5}} −\mathrm{7c}^{\mathrm{4}} −\mathrm{2c}^{\mathrm{3}} −\mathrm{11c}^{\mathrm{2}} +\mathrm{8c}+\mathrm{4}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{c}}=\mathrm{0},\mathrm{838157}…\:\:\mathrm{and}\:\:\mathrm{c}<\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{alors}:\: \\ $$$$\:\:\boldsymbol{\mathrm{x}}=\frac{−\boldsymbol{\mathrm{b}}}{\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{a}}}=\frac{\mathrm{2}+\boldsymbol{\mathrm{c}}−\boldsymbol{\mathrm{c}}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}\left(\boldsymbol{\mathrm{c}}^{\mathrm{4}} +\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{c}}^{\mathrm{3}} −\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{c}}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\boldsymbol{\mathrm{c}}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\:\:\mathrm{for}\:\:\:\mathrm{c}=\mathrm{cosC}=−\mathrm{0},\:\mathrm{338468} \\ $$$$\:\:\mathrm{soit}\:\:\mathrm{C}=\mathrm{90}+\mathrm{56},\mathrm{97}° \\ $$$$ \\ $$$$\begin{cases}{\:\mathrm{2}+\mathrm{c}−\mathrm{c}^{\mathrm{2}} =\mathrm{1},\mathrm{161532}}\\{\:\:\:\mathrm{2}\left(\mathrm{c}^{\mathrm{4}} +\mathrm{2c}^{\mathrm{3}} −\mathrm{2c}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2c}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{1},\mathrm{1706}…}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{alors} \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{x}=\mathrm{1}\:\:\:\Rightarrow\:\mathrm{log}_{\mathrm{2024}} \left(\frac{\mathrm{BC}−\mathrm{AC}}{\mathrm{CD}−\mathrm{AD}}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Donc}\:\::\:\:\mathrm{BC}−\mathrm{AC}=\mathrm{CD}−\mathrm{AD} \\ $$$$ \\ $$