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x-6-2-3-2-6-3-2-2-y-6-3-2-2-6-3-2-2-x-5-y-5-

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Question Number 211331 by efronzo1 last updated on 06/Sep/24
x=(((√6)+2+(√3)+(√2))/( (√6)+(√3)−2−(√2))) y=(((√6)−(√3)−2+(√2))/( (√6)−(√3)+2−(√2))) x^5 −y^5 =?
$$\:\:\:\:\:\mathrm{x}=\frac{\sqrt{\mathrm{6}}+\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}+\sqrt{\mathrm{2}}}{\:\sqrt{\mathrm{6}}+\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{2}}} \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{y}=\frac{\sqrt{\mathrm{6}}−\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{2}}}{\:\sqrt{\mathrm{6}}−\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{2}}} \\ $$$$\:\:\:\mathrm{x}^{\mathrm{5}} −\mathrm{y}^{\mathrm{5}} \:=?\: \\ $$
Answered by A5T last updated on 06/Sep/24
Rationalizing⇒x=5+2(√6);y=5−2(√6) ⇒x^5 −y^5 =38804(√6)
$${Rationalizing}\Rightarrow{x}=\mathrm{5}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{6}};{y}=\mathrm{5}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{6}} \\ $$$$\Rightarrow{x}^{\mathrm{5}} −{y}^{\mathrm{5}} =\mathrm{38804}\sqrt{\mathrm{6}} \\ $$
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 07/Sep/24
x=(((√6)+2+(√3)+(√2) )/( (√6)+(√3)−2−(√2) )) ; y=(((√6)−(√3)−2+(√2))/( (√6)−(√3)+2−(√2))) x=(((√2) (√3) +(√3) +((√2) )^2 +(√2))/( (√2) (√3) +(√3) −((√2) )^2 −(√2))) =(((√3) ((√2) +1)+(√2) ((√2) +1))/( (√3) ((√2) +1)−(√2) ((√2) +1))) =((((√2) +1)((√3) +(√2) ))/(((√2) +1)((√3) −(√2) ))) =(((√3) +(√2) )/( (√3) −(√2) )) =((((√3) +(√2) )^2 )/( 3 −2 ))=5+2(√6) y=(((√2) (√3) −(√3) −((√2) )^2 +(√2))/( (√2) (√3) −(√3) +((√2) )^2 −(√2))) =(((√3) ((√2) −1)−(√2) ((√2) −1))/( (√3) ((√2) −1)+(√2) ((√2) −1))) =(( ((√2) −1)((√3) −(√2) ))/( ((√2) −1)((√3) +(√2) ))) =(( (√3) −(√2) )/( (√3) +(√2) )) =(( ((√3) −(√2) )^2 )/( 3 −2 ))=5−2(√6) ▶x^5 −y^5 =(x−y)(x^4 +x^3 y+x^2 y^2 +xy^3 +y^4 =(x−y)(x^4 +xy(x^2 +xy+y^2 )+y^4 •x−y=5+2(√6) −(5−2(√6) )=4(√6) •x^2 =(5+2(√6))^2 =25+24+20(√6) =49+20(√6) •y^2 =(5−2(√6))^2 =25+24−20(√6) =49−20(√6) •xy=(5−2(√6))(5+2(√6))=25−24=1 •=x^4 =(x^2 )^2 =(49+20(√6) )^2 =2401+2400+1960(√6) =4801+1960(√6) •Similarly y^4 =4801−1960(√6) x^5 −y^5 =(x−y)(x^4 +y^4 +xy(x^2 +y^2 +xy) ) =(4(√6) )(4801+1960(√6)+4801−1960(√6) +(1)(49+20(√6) +49−20(√6) +1)) =(4(√6) )(9602 +99) =(4(√6) )(9701) =38804(√6)
$$\:\mathrm{x}=\frac{\sqrt{\mathrm{6}}+\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{3}}+\sqrt{\mathrm{2}}\:}{\:\sqrt{\mathrm{6}}+\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{2}}\:\:\:}\:;\:\mathrm{y}=\frac{\sqrt{\mathrm{6}}−\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{2}}}{\:\sqrt{\mathrm{6}}−\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{2}}} \\ $$$$\mathrm{x}=\frac{\sqrt{\mathrm{2}}\:\sqrt{\mathrm{3}}\:+\sqrt{\mathrm{3}}\:+\left(\sqrt{\mathrm{2}}\:\right)^{\mathrm{2}} +\sqrt{\mathrm{2}}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}\:\sqrt{\mathrm{3}}\:+\sqrt{\mathrm{3}}\:−\left(\sqrt{\mathrm{2}}\:\right)^{\mathrm{2}} −\sqrt{\mathrm{2}}} \\ $$$$\:\:\:=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}\:\left(\sqrt{\mathrm{2}}\:+\mathrm{1}\right)+\sqrt{\mathrm{2}}\:\left(\sqrt{\mathrm{2}}\:+\mathrm{1}\right)}{\:\sqrt{\mathrm{3}}\:\left(\sqrt{\mathrm{2}}\:+\mathrm{1}\right)−\sqrt{\mathrm{2}}\:\left(\sqrt{\mathrm{2}}\:+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\:\:\:=\frac{\cancel{\left(\sqrt{\mathrm{2}}\:+\mathrm{1}\right)}\left(\sqrt{\mathrm{3}}\:+\sqrt{\mathrm{2}}\:\right)}{\cancel{\left(\sqrt{\mathrm{2}}\:+\mathrm{1}\right)}\left(\sqrt{\mathrm{3}}\:−\sqrt{\mathrm{2}}\:\right)} \\ $$$$\:\:\:=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}\:+\sqrt{\mathrm{2}}\:}{\:\sqrt{\mathrm{3}}\:−\sqrt{\mathrm{2}}\:} \\ $$$$\:\:\:=\frac{\left(\sqrt{\mathrm{3}}\:+\sqrt{\mathrm{2}}\:\right)^{\mathrm{2}} \:}{\:\mathrm{3}\:−\mathrm{2}\:}=\mathrm{5}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{6}}\: \\ $$$$\: \\ $$$$\mathrm{y}=\frac{\sqrt{\mathrm{2}}\:\sqrt{\mathrm{3}}\:−\sqrt{\mathrm{3}}\:−\left(\sqrt{\mathrm{2}}\:\right)^{\mathrm{2}} +\sqrt{\mathrm{2}}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}\:\sqrt{\mathrm{3}}\:−\sqrt{\mathrm{3}}\:+\left(\sqrt{\mathrm{2}}\:\right)^{\mathrm{2}} −\sqrt{\mathrm{2}}} \\ $$$$\:\:\:=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}\:\left(\sqrt{\mathrm{2}}\:−\mathrm{1}\right)−\sqrt{\mathrm{2}}\:\left(\sqrt{\mathrm{2}}\:−\mathrm{1}\right)}{\:\sqrt{\mathrm{3}}\:\left(\sqrt{\mathrm{2}}\:−\mathrm{1}\right)+\sqrt{\mathrm{2}}\:\left(\sqrt{\mathrm{2}}\:−\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\:\:\:=\frac{\:\cancel{\left(\sqrt{\mathrm{2}}\:−\mathrm{1}\right)}\left(\sqrt{\mathrm{3}}\:−\sqrt{\mathrm{2}}\:\right)}{\:\cancel{\left(\sqrt{\mathrm{2}}\:−\mathrm{1}\right)}\left(\sqrt{\mathrm{3}}\:+\sqrt{\mathrm{2}}\:\right)} \\ $$$$\:\:\:=\frac{\:\sqrt{\mathrm{3}}\:−\sqrt{\mathrm{2}}\:}{\:\sqrt{\mathrm{3}}\:+\sqrt{\mathrm{2}}\:} \\ $$$$\:\:\:=\frac{\:\left(\sqrt{\mathrm{3}}\:−\sqrt{\mathrm{2}}\:\right)^{\mathrm{2}} \:}{\:\mathrm{3}\:−\mathrm{2}\:}=\mathrm{5}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{6}}\: \\ $$$$\blacktriangleright\mathrm{x}^{\mathrm{5}} −\mathrm{y}^{\mathrm{5}} =\left(\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{x}^{\mathrm{3}} \mathrm{y}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{xy}^{\mathrm{3}} +\mathrm{y}^{\mathrm{4}} \right. \\ $$$$\:\:=\left(\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{xy}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{xy}+\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \right)+\mathrm{y}^{\mathrm{4}} \right. \\ $$$$\bullet\mathrm{x}−\mathrm{y}=\mathrm{5}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{6}}\:−\left(\mathrm{5}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{6}}\:\right)=\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{6}}\: \\ $$$$\bullet\mathrm{x}^{\mathrm{2}} =\left(\mathrm{5}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{6}}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{25}+\mathrm{24}+\mathrm{20}\sqrt{\mathrm{6}}\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{49}+\mathrm{20}\sqrt{\mathrm{6}}\: \\ $$$$\bullet\mathrm{y}^{\mathrm{2}} =\left(\mathrm{5}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{6}}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{25}+\mathrm{24}−\mathrm{20}\sqrt{\mathrm{6}}\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{49}−\mathrm{20}\sqrt{\mathrm{6}}\: \\ $$$$\bullet\mathrm{xy}=\left(\mathrm{5}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{6}}\right)\left(\mathrm{5}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{6}}\right)=\mathrm{25}−\mathrm{24}=\mathrm{1} \\ $$$$\bullet=\mathrm{x}^{\mathrm{4}} =\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{2}} =\left(\mathrm{49}+\mathrm{20}\sqrt{\mathrm{6}}\:\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{2401}+\mathrm{2400}+\mathrm{1960}\sqrt{\mathrm{6}}\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{4801}+\mathrm{1960}\sqrt{\mathrm{6}}\: \\ $$$$\bullet{Similarly}\:\mathrm{y}^{\mathrm{4}} =\mathrm{4801}−\mathrm{1960}\sqrt{\mathrm{6}}\: \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{5}} −\mathrm{y}^{\mathrm{5}} \\ $$$$=\left(\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{y}^{\mathrm{4}} +\mathrm{xy}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{xy}\right)\:\right) \\ $$$$=\left(\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{6}}\:\right)\left(\mathrm{4801}+\cancel{\mathrm{1960}\sqrt{\mathrm{6}}}+\mathrm{4801}−\cancel{\mathrm{1960}\sqrt{\mathrm{6}}}\:+\left(\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{49}+\cancel{\mathrm{20}\sqrt{\mathrm{6}}\:}+\mathrm{49}−\cancel{\mathrm{20}\sqrt{\mathrm{6}}}\:+\mathrm{1}\right)\right) \\ $$$$=\left(\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{6}}\:\right)\left(\mathrm{9602}\:+\mathrm{99}\right) \\ $$$$=\left(\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{6}}\:\right)\left(\mathrm{9701}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{38804}\sqrt{\mathrm{6}}\: \\ $$

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