Question Number 211579 by MrGaster last updated on 13/Sep/24
$$ \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\int\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}−\boldsymbol{{x}}^{\mathrm{4}} \right)\sqrt{\mathrm{1}+\boldsymbol{{x}}^{\mathrm{2}} }}\boldsymbol{{dx}}. \\ $$$$ \\ $$
Answered by lepuissantcedricjunior last updated on 13/Sep/24
$$\int\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}−\boldsymbol{{x}}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{1}+\boldsymbol{{x}}^{\mathrm{2}} \right)\sqrt{\mathrm{1}+\boldsymbol{{x}}^{\mathrm{2}} }}\boldsymbol{{dx}}=\boldsymbol{{k}} \\ $$$$\boldsymbol{{x}}=\boldsymbol{{tant}}=>\boldsymbol{{dx}}=\left(\mathrm{1}+\boldsymbol{{tan}}^{\mathrm{2}} \boldsymbol{{t}}\right)\boldsymbol{{dt}} \\ $$$$\boldsymbol{{k}}=\int\frac{\boldsymbol{{cost}}\:\:\boldsymbol{{dt}}}{\left(\mathrm{1}−\boldsymbol{{tan}}^{\mathrm{2}} \boldsymbol{{t}}\right)}=\int\frac{\boldsymbol{{cos}}^{\mathrm{2}} \boldsymbol{{t}}}{\boldsymbol{{cos}}^{\mathrm{2}} \boldsymbol{{t}}−\boldsymbol{{sin}}^{\mathrm{2}} \boldsymbol{{t}}}\boldsymbol{{dt}} \\ $$$$\:\:\:=\int\frac{\boldsymbol{{cos}}^{\mathrm{2}} \boldsymbol{{t}}}{\boldsymbol{{cos}}\mathrm{2}\boldsymbol{{t}}}\boldsymbol{{dt}}=\int\frac{\mathrm{1}+\boldsymbol{{cos}}\mathrm{2}\boldsymbol{{t}}}{\mathrm{2}\left(\boldsymbol{{cos}}\mathrm{2}\boldsymbol{{t}}\right)}\boldsymbol{{dt}} \\ $$$$\:\:\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\boldsymbol{{t}}+\int\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\boldsymbol{{cos}}\mathrm{2}\boldsymbol{{t}}}\boldsymbol{{dt}} \\ $$$$\boldsymbol{{o}}=\boldsymbol{{tant}}=>\boldsymbol{{dt}}=\frac{\boldsymbol{{do}}}{\mathrm{1}+\boldsymbol{{o}}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\:\:\:\boldsymbol{{m}}=\int\frac{\boldsymbol{{dt}}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{2}\boldsymbol{{cos}}^{\mathrm{2}} \boldsymbol{{t}}−\mathrm{1}\right)}=\int\frac{\boldsymbol{{do}}}{\mathrm{2}\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{1}+\boldsymbol{{o}}^{\mathrm{2}} }−\mathrm{1}\right)×\left(\mathrm{1}+\boldsymbol{{o}}^{\mathrm{2}} \right)} \\ $$$$\:\:\:=\int\frac{\boldsymbol{{do}}}{\left(\mathrm{4}−\mathrm{2}−\mathrm{2}\boldsymbol{{o}}^{\mathrm{2}} \right)}=\int\frac{\boldsymbol{{do}}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}−\boldsymbol{{o}}^{\mathrm{2}} \right)} \\ $$$$\:\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{\boldsymbol{{do}}}{\left(\mathrm{1}−\boldsymbol{{o}}\right)\left(\mathrm{1}+\boldsymbol{{o}}\right)}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\boldsymbol{{o}}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\boldsymbol{{o}}}\right)\boldsymbol{{do}} \\ $$$$\:\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\boldsymbol{{ln}}\mid\frac{\mathrm{1}+\boldsymbol{{o}}}{\mathrm{1}−\boldsymbol{{o}}}\mid+\boldsymbol{{c}} \\ $$$$\:\:\boldsymbol{{k}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\boldsymbol{{arctant}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\boldsymbol{{ln}}\mid\frac{\mathrm{1}+\boldsymbol{{arctant}}}{\mathrm{1}−\boldsymbol{{arctant}}}\mid+{c} \\ $$$$\boldsymbol{{k}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\boldsymbol{{arctan}}\left(\boldsymbol{{arctant}}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\boldsymbol{{ln}}\mid\frac{\mathrm{1}+\boldsymbol{{arctan}}\left(\boldsymbol{{arctanx}}\right)}{\mathrm{1}−\boldsymbol{{arctan}}\left(\boldsymbol{{arctanx}}\right)}\mid+\boldsymbol{{c}} \\ $$$$ \\ $$
Commented by Frix last updated on 13/Sep/24
$$\mathrm{3}^{\mathrm{rd}} \:\mathrm{line}: \\ $$$${x}=\mathrm{tan}\:{t}\:\wedge\:{dx}=\left(\mathrm{1}+\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \:{t}\right){dt} \\ $$$$\mathrm{leads}\:\mathrm{to} \\ $$$${k}=\int\frac{\mathrm{cos}^{\mathrm{3}} \:{t}}{\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \:{t}\:−\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:{t}}{dt} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{everything}\:\mathrm{else}\:\mathrm{is}\:\mathrm{wrong}. \\ $$
Answered by Frix last updated on 13/Sep/24
$$−\int\frac{{dx}}{\left({x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{1}\right)\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}\:\overset{\left[{t}={x}+\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\right]} {=} \\ $$$$=−\mathrm{16}\int\frac{{t}^{\mathrm{3}} }{\left({t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\left({t}^{\mathrm{4}} −\mathrm{6}{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}{dt}= \\ $$$$=\mathrm{2}\int\frac{{t}}{{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{dt}− \\ $$$$\:\:\:\:\:−\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{8}}\int\frac{{dt}}{{t}−\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{2}}}+ \\ $$$$\:\:\:\:\:+\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{8}}\int\frac{{dt}}{{t}−\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}}+ \\ $$$$\:\:\:\:\:+\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{8}}\int\frac{{dt}}{{t}+\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{2}}}− \\ $$$$\:\:\:\:\:−\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{8}}\int\frac{{dt}}{{t}+\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}} \\ $$$$\mathrm{These}\:\mathrm{are}\:\mathrm{easy}. \\ $$$$\mathrm{I}\:\mathrm{finally}\:\mathrm{get} \\ $$$$−\int\frac{{dx}}{\left({x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{1}\right)\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}= \\ $$$$=\frac{{x}}{\mathrm{2}\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}+\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{8}}\mathrm{ln}\:\mid\frac{\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}+\mathrm{2}{x}\sqrt{\mathrm{2}\left({x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}}{{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\mid\:+{C} \\ $$