Question Number 211672 by MATHEMATICSAM last updated on 15/Sep/24
$$\mathrm{In}\:\mathrm{a}\:\mathrm{triangle}\:\mathrm{the}\:\mathrm{bisector}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{side}\:{c}\:\mathrm{is} \\ $$$$\mathrm{perpendicular}\:\mathrm{to}\:\mathrm{side}\:{b}.\:\mathrm{Prove}\:\mathrm{that} \\ $$$$\mathrm{2tanC}\:+\:\mathrm{tanA}\:=\:\mathrm{0}. \\ $$
Commented by Frix last updated on 16/Sep/24
$$\mathrm{If}\:\mathrm{the}\:\mathrm{bisector}\:\mathrm{of}\:\mathrm{a}\:{side}\:\mathrm{is}\:\mathrm{perpendicular}\:\mathrm{to} \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{other}\:\mathrm{side}\:\Rightarrow\:\mathrm{the}\:\mathrm{angle}\:\mathrm{between}\:\mathrm{these} \\ $$$$\mathrm{sides}\:\mathrm{is}\:\mathrm{either}\:\mathrm{0}°\:\mathrm{or}\:\mathrm{180}°. \\ $$$$\mathrm{The}\:\mathrm{bisector}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:{angle}\:{c}\:\mathrm{cannot}\:\mathrm{be} \\ $$$$\mathrm{perpendicular}\:\mathrm{to}\:\mathrm{the}\:\mathrm{side}\:{b}\:\mathrm{because}\:\mathrm{it}'\mathrm{s}\:\mathrm{the} \\ $$$$\mathrm{angle}\:\mathrm{between}\:\mathrm{the}\:\mathrm{sides}\:{a}\:\mathrm{and}\:{b}. \\ $$
Commented by Frix last updated on 16/Sep/24
$$\delta=\sqrt{\left({a}+{b}+{c}\right)\left({a}+{b}−{c}\right)\left({a}+{c}−{b}\right)\left({b}+{c}−{a}\right)} \\ $$$$\mathrm{tan}\:\alpha\:=\frac{\delta}{{b}^{\mathrm{2}} +{c}^{\mathrm{2}} −{a}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{tan}\:\beta\:=\frac{\delta}{{a}^{\mathrm{2}} +{c}^{\mathrm{2}} −{b}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{tan}\:\gamma\:=\frac{\delta}{{a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} −{c}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{2tan}\:\gamma\:+\mathrm{tan}\:\alpha\:=\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow \\ $$$${a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{b}^{\mathrm{2}} −{c}^{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{Let}\:{c}=\mathrm{1}\:\Rightarrow\:{a}=\sqrt{\mathrm{3}{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\wedge\delta=\mathrm{2}{b}\sqrt{\mathrm{1}−{b}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{0}<{b}<\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{tan}\:\alpha\:=−\frac{\sqrt{\mathrm{1}−{b}^{\mathrm{2}} }}{{b}} \\ $$$$\mathrm{tan}\:\beta\:=\frac{{b}\sqrt{\mathrm{1}−{b}^{\mathrm{2}} }}{{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{tan}\:\gamma\:=\frac{\sqrt{\mathrm{1}−{b}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{2}{b}} \\ $$$$\mathrm{You}\:\mathrm{can}\:\mathrm{draw}\:\mathrm{any}\:\mathrm{of}\:\mathrm{these}\:\mathrm{to}\:\mathrm{see}\:\mathrm{what}'\mathrm{s} \\ $$$$\mathrm{perpendicular}\:\mathrm{or}\:\mathrm{not}… \\ $$