Question Number 211651 by MATHEMATICSAM last updated on 15/Sep/24
$$\mathrm{In}\:\mathrm{triangle}\:\mathrm{ABC},\:\angle\mathrm{C}\:=\:\mathrm{60}°.\:\mathrm{If}\:\mathrm{the}\:\mathrm{length} \\ $$$$\mathrm{of}\:\mathrm{opposite}\:\mathrm{sides}\:\mathrm{of}\:\angle\mathrm{A},\:\angle\mathrm{B}\:\mathrm{and}\:\angle\mathrm{C}\:\mathrm{are} \\ $$$${a},\:{b}\:\mathrm{and}\:{c}\:\mathrm{respectively}\:\mathrm{then}\:\mathrm{prove}\:\mathrm{that} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{{a}\:+\:{c}}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{{b}\:+\:{c}}\:=\:\frac{\mathrm{3}}{{a}\:+\:{b}\:+\:{c}}\:. \\ $$
Answered by som(math1967) last updated on 15/Sep/24
$$\:\frac{{a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} −{c}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}{ab}}={cos}\mathrm{60} \\ $$$$\Rightarrow{a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} −{c}^{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}×\mathrm{2}{ab} \\ $$$$\Rightarrow{a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} ={ab}+{c}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow{a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} +{bc}+{ca}={ab}+{bc}+{ca}+{c}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow{b}\left({b}+{c}\right)+{a}\left({a}+{c}\right)=\:\left({a}+{c}\right)\left({b}+{c}\right) \\ $$$$\Rightarrow\frac{{b}}{{a}+{c}}\:+\frac{{a}}{{b}+{c}}=\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\frac{{b}}{{a}+{c}}+\mathrm{1}+\frac{{a}}{{b}+{c}}+\mathrm{1}=\mathrm{1}+\mathrm{2} \\ $$$$\Rightarrow\frac{{a}+{b}+{c}}{{a}+{c}}+\frac{{a}+{b}+{c}}{{b}+{c}}=\mathrm{3} \\ $$$$\Rightarrow\:\frac{\mathrm{1}}{{a}+{c}}\:+\frac{\mathrm{1}}{{b}+{c}}=\frac{\mathrm{3}}{{a}+{b}+{c}} \\ $$