Question Number 211658 by efronzo1 last updated on 15/Sep/24
$$\:\:\:\underbrace{\:} \\ $$
Answered by mehdee1342 last updated on 15/Sep/24
$${y}=\sqrt{\mathrm{19}−\mathrm{8}\sqrt{\mathrm{3}}}\Rightarrow{y}^{\mathrm{2}} =\mathrm{19}−\mathrm{8}\sqrt{\mathrm{3}} \\ $$$${y}^{\mathrm{4}} −\mathrm{18}{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{361}=\mathrm{192} \\ $$$$\overset{{x}={y}^{\mathrm{2}} } {\Rightarrow}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{18}{x}+\mathrm{169}=\mathrm{0}\Rightarrow{a}=\mathrm{18}\:\&\:{b}=\mathrm{361} \\ $$$$\Rightarrow{a}+{b}=\mathrm{379}\:\checkmark \\ $$$$ \\ $$
Commented by Frix last updated on 15/Sep/24
$${x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{18}{x}+\mathrm{169}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\:{x}=\mathrm{9}\pm\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{22}}\mathrm{i}\neq\sqrt{\mathrm{19}−\mathrm{8}\sqrt{\mathrm{3}}} \\ $$
Answered by Frix last updated on 15/Sep/24
$$\sqrt{\mathrm{19}−\mathrm{8}\sqrt{\mathrm{3}}}=\mathrm{4}−\sqrt{\mathrm{3}} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{1}. \\ $$$${x}_{\mathrm{1}} =\mathrm{4}−\sqrt{\mathrm{3}} \\ $$$${a},\:{b}\:\in\mathbb{Q}\:\Rightarrow\:{x}_{\mathrm{2}} =\mathrm{4}+\sqrt{\mathrm{3}} \\ $$$$\left({x}−{x}_{\mathrm{1}} \right)\left({x}−{x}_{\mathrm{2}} \right)={x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{8}{x}+\mathrm{13} \\ $$$${a}=\mathrm{8}\wedge{b}=\mathrm{13} \\ $$$${a}+{b}=\mathrm{21} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{2}. \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} −{ax}+{b}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\:{x}=\frac{{a}}{\mathrm{2}}\pm\frac{\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}{b}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\:\frac{{a}}{\mathrm{2}}=\mathrm{4}\wedge\frac{\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}{b}}}{\mathrm{2}}=\sqrt{\mathrm{3}} \\ $$$$\Rightarrow\:{a}=\mathrm{8}\wedge{b}=\mathrm{13} \\ $$$${a}+{b}=\mathrm{21} \\ $$