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Question-211658




Question Number 211658 by efronzo1 last updated on 15/Sep/24
$$\:\:\:\underbrace{\:} \\ $$
Answered by mehdee1342 last updated on 15/Sep/24
y=(√(19−8(√3)))⇒y^2 =19−8(√3)  y^4 −18y^2 +361=192  ⇒^(x=y^2 ) x^2 −18x+169=0⇒a=18 & b=361  ⇒a+b=379 ✓
$${y}=\sqrt{\mathrm{19}−\mathrm{8}\sqrt{\mathrm{3}}}\Rightarrow{y}^{\mathrm{2}} =\mathrm{19}−\mathrm{8}\sqrt{\mathrm{3}} \\ $$$${y}^{\mathrm{4}} −\mathrm{18}{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{361}=\mathrm{192} \\ $$$$\overset{{x}={y}^{\mathrm{2}} } {\Rightarrow}{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{18}{x}+\mathrm{169}=\mathrm{0}\Rightarrow{a}=\mathrm{18}\:\&\:{b}=\mathrm{361} \\ $$$$\Rightarrow{a}+{b}=\mathrm{379}\:\checkmark \\ $$$$ \\ $$
Commented by Frix last updated on 15/Sep/24
x^2 +18x+169=0 ⇒ x=9±2(√(22))i≠(√(19−8(√3)))
$${x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{18}{x}+\mathrm{169}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\:{x}=\mathrm{9}\pm\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{22}}\mathrm{i}\neq\sqrt{\mathrm{19}−\mathrm{8}\sqrt{\mathrm{3}}} \\ $$
Answered by Frix last updated on 15/Sep/24
(√(19−8(√3)))=4−(√3)    1.  x_1 =4−(√3)  a, b ∈Q ⇒ x_2 =4+(√3)  (x−x_1 )(x−x_2 )=x^2 −8x+13  a=8∧b=13  a+b=21    2.  x^2 −ax+b=0 ⇒ x=(a/2)±((√(a^2 −4b))/2)  ⇒ (a/2)=4∧((√(a^2 −4b))/2)=(√3)  ⇒ a=8∧b=13  a+b=21
$$\sqrt{\mathrm{19}−\mathrm{8}\sqrt{\mathrm{3}}}=\mathrm{4}−\sqrt{\mathrm{3}} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{1}. \\ $$$${x}_{\mathrm{1}} =\mathrm{4}−\sqrt{\mathrm{3}} \\ $$$${a},\:{b}\:\in\mathbb{Q}\:\Rightarrow\:{x}_{\mathrm{2}} =\mathrm{4}+\sqrt{\mathrm{3}} \\ $$$$\left({x}−{x}_{\mathrm{1}} \right)\left({x}−{x}_{\mathrm{2}} \right)={x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{8}{x}+\mathrm{13} \\ $$$${a}=\mathrm{8}\wedge{b}=\mathrm{13} \\ $$$${a}+{b}=\mathrm{21} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{2}. \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} −{ax}+{b}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\:{x}=\frac{{a}}{\mathrm{2}}\pm\frac{\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}{b}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\:\frac{{a}}{\mathrm{2}}=\mathrm{4}\wedge\frac{\sqrt{{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{4}{b}}}{\mathrm{2}}=\sqrt{\mathrm{3}} \\ $$$$\Rightarrow\:{a}=\mathrm{8}\wedge{b}=\mathrm{13} \\ $$$${a}+{b}=\mathrm{21} \\ $$

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