Question Number 211750 by Alijumaaxyz last updated on 19/Sep/24
$$\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\left(\frac{{a}^{\mathrm{1}/{x}} +{b}^{\mathrm{1}/{x}} }{\mathrm{2}}\right)^{{x}} ;\left({a},{b}\right)\in\mathbb{R}_{+} ^{\ast} \\ $$
Answered by mehdee7396 last updated on 19/Sep/24
$${li}\underset{{x}\rightarrow\infty} {{m}}\:{b}\left(\frac{\left(\frac{{a}}{{b}}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{{x}}} +\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{{x}} \\ $$$$\bigstar\:{li}\underset{{x}\rightarrow\infty} {{m}}\:\left(\frac{\left(\frac{{a}}{{b}}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{{x}}} +\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{{x}} \\ $$$$={li}\underset{{x}\rightarrow\infty} {{m}}\:\left(\frac{\left(\frac{{a}}{{b}}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{{x}}} +\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\mathrm{1}\right){x} \\ $$$$={li}\underset{{x}\rightarrow\infty} {{m}}\:\left(\frac{\left(\frac{{a}}{{b}}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{{x}}} −\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right){x} \\ $$$$={li}\underset{{x}\rightarrow\infty} {{m}}\:\frac{\left(\frac{{a}}{{b}}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{{x}}} −\mathrm{1}}{\frac{\mathrm{2}}{{x}}} \\ $$$$={li}\underset{{x}\rightarrow\infty} {{m}}\:\frac{−\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }\left(\frac{{a}}{{b}}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{{x}}} {ln}\left(\frac{{a}}{{b}}\right)}{−\frac{\mathrm{2}}{{x}^{\mathrm{2}} }}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{ln}\left(\frac{{a}}{{b}}\right) \\ $$$$\Rightarrow{li}\underset{{x}\rightarrow\infty} {{m}}\:\left(\frac{\left(\frac{{a}}{{b}}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{{x}}} +\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{{x}} ={e}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{ln}\left(\frac{{a}}{{b}}\right)} =\sqrt{\frac{{a}}{{b}}} \\ $$$$\Rightarrow{li}\underset{{x}\rightarrow\infty} {{m}}\:{b}\left(\frac{\left(\frac{{a}}{{b}}\right)^{\frac{\mathrm{1}}{{x}}} +\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{{x}} =\:\sqrt{{ab}}\:\:\checkmark \\ $$$$ \\ $$
Commented by Alijumaaxyz last updated on 19/Sep/24
$$\checkmark\:{thank}\:{you}\:{sir} \\ $$