Question Number 212033 by RojaTaniya last updated on 27/Sep/24
$$\:{Find}\:{last}\:{two}\:{digit}\:{of}\:\mid\mathrm{33}^{\mathrm{22}} −\mathrm{22}^{\mathrm{33}} \mid \\ $$
Answered by Frix last updated on 27/Sep/24
$$\mathrm{22}^{\mathrm{33}} −\mathrm{33}^{\mathrm{22}} = \\ $$$$\mathrm{199}\:\mathrm{502}\:\mathrm{557}\:\mathrm{353}\:\mathrm{381}\:\mathrm{471}\:\mathrm{378}\:\mathrm{605}\:\mathrm{391}\:\mathrm{983}\:\mathrm{038}\:\mathrm{967}\:\mathrm{797}\:\mathrm{408}\:\mathrm{063} \\ $$
Commented by MATHEMATICSAM last updated on 27/Sep/24
$$\mathrm{Bruh} \\ $$
Answered by A5T last updated on 27/Sep/24
$$\mathrm{22}^{\mathrm{33}} =\mathrm{2}^{\mathrm{33}} ×\mathrm{11}^{\mathrm{33}} =\mathrm{11}^{\mathrm{22}} \left(\mathrm{11}^{\mathrm{11}} \right)\left(\mathrm{8}\right)^{\mathrm{11}} >\mathrm{11}^{\mathrm{22}} ×\mathrm{3}^{\mathrm{22}} =\mathrm{33}^{\mathrm{22}} \\ $$$$\Rightarrow\mid\mathrm{33}^{\mathrm{22}} −\mathrm{22}^{\mathrm{33}} \mid=\mathrm{22}^{\mathrm{33}} −\mathrm{33}^{\mathrm{22}} \equiv\mathrm{3}\left({mod}\:\mathrm{4}\right); \\ $$$$\mathrm{22}^{\mathrm{33}} −\mathrm{33}^{\mathrm{22}} \equiv\mathrm{2}−\mathrm{64}\equiv\mathrm{13}\left({mod}\:\mathrm{25}\right) \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{22}^{\mathrm{33}} −\mathrm{33}^{\mathrm{22}} \equiv\mathrm{63}\left({mod}\:\mathrm{100}\right) \\ $$