Question Number 212470 by Spillover last updated on 14/Oct/24
Answered by Ar Brandon last updated on 14/Oct/24
$$\Omega=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\left(\mathrm{1}−{x}\right)\mathrm{ln}{x}}{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{6}} }{dx} \\ $$$$\:\:\:\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}−{x}}{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{6}} }\mathrm{ln}{xdx}+\int_{\mathrm{1}} ^{\infty} \frac{\mathrm{1}−{x}}{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{6}} }\mathrm{ln}{xdx} \\ $$$$\:\:\:\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}−{x}}{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{6}} }\mathrm{ln}{xdx}−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{{x}}}{{x}^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{4}} }}\mathrm{ln}{xdx} \\ $$$$\:\:\:\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}−{x}−{x}^{\mathrm{3}} +{x}^{\mathrm{4}} }{\mathrm{1}−{x}^{\mathrm{6}} }\mathrm{ln}{xdx}\:,\:\psi'\left({t}\right)=−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{{x}^{{t}−\mathrm{1}} \mathrm{ln}{x}}{\mathrm{1}−{x}}{dx} \\ $$$$\:\:\:\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{36}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{{x}^{−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{6}}} −{x}^{−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}} −{x}^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}} +{x}^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}} }{\mathrm{1}−{x}}\mathrm{ln}\left({x}\right){dx} \\ $$$$\:\:\:\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{36}}\left(\psi'\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\right)−\psi'\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right)−\psi'\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\right)+\psi'\left(\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{6}}\right)\right) \\ $$$$\:\:\:\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{36}}\left(\left(\psi'\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\right)+\psi'\left(\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{6}}\right)\right)−\left(\psi'\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right)+\psi'\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}\right)\right)\right. \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left[\:\psi'\left({x}\right)+\psi'\left(\mathrm{1}−{x}\right)=\pi^{\mathrm{2}} \mathrm{cosec}^{\mathrm{2}} \left(\pi{x}\right)\:\right] \\ $$$$\:\:\:\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{36}}\left(\pi^{\mathrm{2}} \mathrm{cosec}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\pi}{\mathrm{6}}\right)−\pi^{\mathrm{2}} \mathrm{cosec}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\pi}{\mathrm{3}}\right)\right) \\ $$$$\:\:\:\:=−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{36}}\left(\mathrm{2}^{\mathrm{2}} −\left(\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\right)^{\mathrm{2}} \right)=−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{36}}\left(\frac{\mathrm{12}−\mathrm{4}}{\mathrm{3}}\right)=−\frac{\mathrm{2}\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{27}} \\ $$