Question Number 212499 by efronzo1 last updated on 15/Oct/24
$$\:\:\mathrm{Given}\:\mathrm{a},\mathrm{b},\mathrm{c}\:\mathrm{and}\:\mathrm{d}\:\mathrm{are}\:\mathrm{reals}\: \\ $$$$\:\mathrm{numbers}\:\mathrm{such}\:\mathrm{that}\: \\ $$$$\:\:\:\:\begin{cases}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} =\mathrm{10}}\\{\mathrm{c}^{\mathrm{2}} +\mathrm{d}^{\mathrm{2}} =\mathrm{10}\:}\\{\mathrm{ab}+\mathrm{cd}=\mathrm{0}}\end{cases} \\ $$$$\:\:\mathrm{Find}\:\mathrm{ac}\:+\:\mathrm{bd}. \\ $$
Answered by ajfour last updated on 15/Oct/24
$$\left({a}+{b}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{10}+\mathrm{2}{ab} \\ $$$$\left({c}+{d}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{10}+\mathrm{2}{cd} \\ $$$${let}\:\:\:\frac{{d}}{{b}}=−\frac{{c}}{{a}}={k} \\ $$$${c}^{\mathrm{2}} +{d}^{\mathrm{2}} ={k}^{\mathrm{2}} \left({a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} \right)=\mathrm{10} \\ $$$$\Rightarrow\:\:{k}^{\mathrm{2}} =\mathrm{1}\:\:\:\:{as}\:\:\:\left({a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} \right)=\mathrm{10}\:\: \\ $$$${say}\:\:{k}=\mathrm{1}\:\:\Rightarrow \\ $$$${d}={b},\:{c}=−{a} \\ $$$${ac}+{bd}=−{a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} =\mathrm{10}−\mathrm{2}{a}^{\mathrm{2}} =\mathrm{2}{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{10} \\ $$$${i}\:{think}\:{it}\:{depends}\:{on}\:{choice}\:{of}\: \\ $$$${a}^{\mathrm{2}} ,\:{b}^{\mathrm{2}} \:\:{with}\:{the}\:{condition}\:{a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} =\mathrm{10} \\ $$$$ \\ $$
Answered by Ghisom last updated on 16/Oct/24
$${ab}+{cd}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\:{d}=−\frac{{ab}}{{c}} \\ $$$${c}^{\mathrm{2}} +{d}^{\mathrm{2}} =\mathrm{10}\:\Rightarrow\:{b}^{\mathrm{2}} =\frac{{c}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{10}−{c}^{\mathrm{2}} \right)}{{a}^{\mathrm{2}} } \\ $$$${a}^{\mathrm{2}} +{b}^{\mathrm{2}} =\mathrm{10}\:\Rightarrow\:{a}^{\mathrm{4}} −\mathrm{10}{a}^{\mathrm{2}} −{c}^{\mathrm{4}} +\mathrm{10}{c}^{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow \\ $$$${c}=\pm{a}\vee{c}=\pm\sqrt{\mathrm{10}−{a}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\Rightarrow\:{ac}+{bd}=\pm\mathrm{2}\left({a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{5}\right)\vee{ac}+{bd}=\mathrm{0} \\ $$