Question Number 212595 by MrGaster last updated on 18/Oct/24
$$\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\left(\frac{\mathrm{1}^{\mathrm{2}} }{{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }{{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{3}^{\mathrm{2}} }{{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}}+\ldots+\frac{{n}^{\mathrm{2}} }{{n}^{\mathrm{2}} +{n}}−\frac{{n}}{\mathrm{3}}\right)=? \\ $$
Answered by Berbere last updated on 18/Oct/24
$$=\Sigma\frac{{k}^{\mathrm{2}} }{{n}^{\mathrm{2}} +{n}}\leqslant\Sigma\frac{{k}^{\mathrm{2}} }{{n}^{\mathrm{2}} +{k}}−\frac{{n}}{\mathrm{3}\:}\leqslant\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{{k}^{\mathrm{2}} }{{n}^{\mathrm{2}} }−\frac{{n}}{\mathrm{3}}\:\: \\ $$$${U}_{{n}} =\frac{{n}\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)\left({n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{6}\left({n}^{\mathrm{2}} +{n}\right)}−\frac{{n}}{\mathrm{3}}\:\leqslant{S}_{{n}} \leqslant\frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} }\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right){n}\left({n}+\mathrm{1}\right)−\frac{{n}}{\mathrm{3}}={V}_{{n}} \\ $$$${U}_{{n}} \rightarrow\mathrm{0};{v}_{{n}} \rightarrow\mathrm{0}\Rightarrow{S}_{{n}} \rightarrow\mathrm{0} \\ $$$$ \\ $$