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Question-212673

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Question Number 212673 by golsendro last updated on 21/Oct/24
$$\:\:\:\: \\ $$
Answered by Frix last updated on 21/Oct/24
(√(2x+3))=x^2 −x−3 Squaring & transforming [introduces false solutions!] x^4 −2x^3 −5x^2 +4x+6=0 Checking factors of 6 ⇒ x_1 =−1 [false] x_2 =3 ★ ⇒ (x+1)(x−3)(x^2 −2)=0 x_3 =−(√2) ★ x_4 =(√2) [false] [There are no complex solutions]
$$\sqrt{\mathrm{2}{x}+\mathrm{3}}={x}^{\mathrm{2}} −{x}−\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{Squaring}\:\&\:\mathrm{transforming} \\ $$$$\:\:\:\:\:\left[\mathrm{introduces}\:\mathrm{false}\:\mathrm{solutions}!\right] \\ $$$${x}^{\mathrm{4}} −\mathrm{2}{x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{5}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}{x}+\mathrm{6}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{Checking}\:\mathrm{factors}\:\mathrm{of}\:\mathrm{6}\:\Rightarrow \\ $$$${x}_{\mathrm{1}} =−\mathrm{1}\:\:\left[\mathrm{false}\right] \\ $$$${x}_{\mathrm{2}} =\mathrm{3}\:\bigstar \\ $$$$\Rightarrow \\ $$$$\left({x}+\mathrm{1}\right)\left({x}−\mathrm{3}\right)\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\right)=\mathrm{0} \\ $$$${x}_{\mathrm{3}} =−\sqrt{\mathrm{2}}\:\bigstar \\ $$$${x}_{\mathrm{4}} =\sqrt{\mathrm{2}}\:\:\left[\mathrm{false}\right] \\ $$$$\left[\mathrm{There}\:\mathrm{are}\:\mathrm{no}\:\mathrm{complex}\:\mathrm{solutions}\right] \\ $$
Answered by efronzo1 last updated on 21/Oct/24
⇔ (√(2x+3)) + 2x = x^2 +x−3 (√(2x+3)) + 2x+3 +(1/4) = x^2 +x+(1/4) ((√(2x+3)) +(1/2))^2 = (x+(1/2))^2 ⇔ (√(2x+3)) = x x^2 −2x−3=0 ⇒(x−3)(x+1)=0 x=−1 (not a root ) x=3 (a root ) ⇒ x^2 −x−3−(√(2x+3)) = 0 (x−3)(x+1)−(√(2x+3)) = 0 (x−3) (x+2 +((3−(√(2x+3)))/(x−3)) )=0 x+2 +((9−(2x+3))/((x−3)(3+(√(2x+3)) ))) = 0 x+2 −((2(x−3))/((x−3)(3+(√(2x+3)) ))) = 0 x+2 −(2/( 3 + (√(2x+3)))) = 0 x+2−(2/(x^2 −x)) = 0 ; ((x(x−1)(x+2)−2)/(x(x−1)))=0 (x^2 −2)(x+1)=0 ; (x+(√2) )(x−(√2) )(x+1)=0 x=(√2) (not a root) x=−(√2) (a root) x = { −(√2) , 3 }
$$\:\:\:\Leftrightarrow\:\sqrt{\mathrm{2x}+\mathrm{3}}\:+\:\mathrm{2x}\:=\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}−\mathrm{3}\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\sqrt{\mathrm{2x}+\mathrm{3}}\:+\:\mathrm{2x}+\mathrm{3}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:=\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\left(\sqrt{\mathrm{2x}+\mathrm{3}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} \:=\:\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\Leftrightarrow\:\sqrt{\mathrm{2x}+\mathrm{3}}\:=\:\:\mathrm{x}\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2x}−\mathrm{3}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{x}=−\mathrm{1}\:\left(\mathrm{not}\:\mathrm{a}\:\mathrm{root}\:\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{x}=\mathrm{3}\:\left(\mathrm{a}\:\mathrm{root}\:\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\Rightarrow\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}−\mathrm{3}−\sqrt{\mathrm{2x}+\mathrm{3}}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)−\sqrt{\mathrm{2x}+\mathrm{3}}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)\:\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\:+\frac{\mathrm{3}−\sqrt{\mathrm{2x}+\mathrm{3}}}{\mathrm{x}−\mathrm{3}}\:\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\mathrm{x}+\mathrm{2}\:+\frac{\mathrm{9}−\left(\mathrm{2x}+\mathrm{3}\right)}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{3}+\sqrt{\mathrm{2x}+\mathrm{3}}\:\right)}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\mathrm{x}+\mathrm{2}\:−\frac{\mathrm{2}\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{3}+\sqrt{\mathrm{2x}+\mathrm{3}}\:\right)}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{x}+\mathrm{2}\:−\frac{\mathrm{2}}{\:\mathrm{3}\:+\:\sqrt{\mathrm{2x}+\mathrm{3}}}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\mathrm{x}+\mathrm{2}−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}}\:=\:\mathrm{0}\:;\:\frac{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{2}\right)−\mathrm{2}}{\mathrm{x}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{0}\:;\:\left(\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{2}}\:\right)\left(\mathrm{x}−\sqrt{\mathrm{2}}\:\right)\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\mathrm{x}=\sqrt{\mathrm{2}}\:\left(\mathrm{not}\:\mathrm{a}\:\mathrm{root}\right) \\ $$$$\:\:\:\mathrm{x}=−\sqrt{\mathrm{2}}\:\left(\mathrm{a}\:\mathrm{root}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{x}\:=\:\left\{\:−\sqrt{\mathrm{2}}\:,\:\mathrm{3}\:\right\} \\ $$
Answered by Ghisom last updated on 21/Oct/24
(√(2x+3))+x=x^2 −3 x^2 −x−(√(2x+3))−3=0 t=2x+3 ⇔ x=((t−3)/2) t^2 −8t−4(√t)+3=0 (t−(2+(√2))(√t)−3(1−(√2)))(t+(2+(√2))(√t)+1+(√2))_(no solution) =0 t−(2+(√2))(√t)−3(1−(√2))=0 ((√t)−3)((√t)+1−(√2))=0 (√t)=3∨(√t)=−1+(√2) t=9∨t=3−2(√2) x=3∨x=−(√2)
$$\sqrt{\mathrm{2}{x}+\mathrm{3}}+{x}={x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3} \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} −{x}−\sqrt{\mathrm{2}{x}+\mathrm{3}}−\mathrm{3}=\mathrm{0} \\ $$$${t}=\mathrm{2}{x}+\mathrm{3}\:\Leftrightarrow\:{x}=\frac{{t}−\mathrm{3}}{\mathrm{2}} \\ $$$${t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{8}{t}−\mathrm{4}\sqrt{{t}}+\mathrm{3}=\mathrm{0} \\ $$$$\left({t}−\left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)\sqrt{{t}}−\mathrm{3}\left(\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{2}}\right)\right)\underset{\mathrm{no}\:\mathrm{solution}} {\underbrace{\left({t}+\left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)\sqrt{{t}}+\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)}}=\mathrm{0} \\ $$$${t}−\left(\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)\sqrt{{t}}−\mathrm{3}\left(\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\left(\sqrt{{t}}−\mathrm{3}\right)\left(\sqrt{{t}}+\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\sqrt{{t}}=\mathrm{3}\vee\sqrt{{t}}=−\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}} \\ $$$${t}=\mathrm{9}\vee{t}=\mathrm{3}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}} \\ $$$${x}=\mathrm{3}\vee{x}=−\sqrt{\mathrm{2}} \\ $$

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