Notation-Soit-A-une-partie-de-R-On-appelle-indicatrice-de-A-note-e-A-l-application-x-1-si-x-A-0-sinon-1-Pour-k-dans-N-notons-f-k-x-cos-x-2k-Montrer-que-f-

Question Number 212984 by Faetmaaa last updated on 27/Oct/24

\underset{―}{Notation :} Soit A une partie de R . On appelle i n d i c a t r i c e d e A,

not \overset{´}{e e} χ_{A}, l^{'} application x {\begin{cases} 1 si x \in A \\ 0 sinon \end{cases} .

1 . Pour k dans N^{*} notons f_{k} : x {(\cos x)}^{2 k} .

Montrer que {(f_{k})}_{k \in N^{*}} converge vers χ_{π Z} .

2 . Soit n un param \overset{`}{e t r e} fix \overset{´}{e} dans N .

Pour k dans N^{*} notons g_{k} : x f_{k} (n! π x) .

Montrer que {(g_{k})}_{k \in N^{*}} converge vers une application g^{(n)} \overset{`}{a}

d \overset{´}{e t e r m i n e r}, d \overset{´}{e p e n d a n t e} du param \overset{`}{e t r e} n . \overset{´}{E c r i r e} g^{(n)} sous

la forme χ_{A} o \overset{`}{u} A est une partie de R \overset{`}{a} d \overset{´}{e t e r m i n e r} .

3 . Montrer que la suite de fonctions {(g^{(n)})}_{n \in N} converge vers χ_{Q} .

4 . Soit x dans R . Calculer \lim_{n \to \infty} (\lim_{k \to \infty} {(\cos (n! π x))}^{2 k}) .