Question Number 212984 by Faetmaaa last updated on 27/Oct/24
$$\underline{\boldsymbol{\mathrm{Notation}}\::}\:\mathrm{Soit}\:{A}\:\mathrm{une}\:\mathrm{partie}\:\mathrm{de}\:\mathbb{R}.\:\mathrm{On}\:\mathrm{appelle}\:{indicatrice}\:{de}\:{A}, \\ $$$$\mathrm{not}\acute {\mathrm{e}e}\:\chi_{{A}} ,\:\mathrm{l}'\mathrm{application}\:{x}\: \:\begin{cases}{\mathrm{1}\:\mathrm{si}\:{x}\:\in\:{A}}\\{\mathrm{0}\:\mathrm{sinon}}\end{cases}. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{1}.\:\mathrm{Pour}\:{k}\:\mathrm{dans}\:\mathbb{N}^{\ast} \:\mathrm{notons}\:{f}_{{k}} \::\:{x}\: \:\left(\mathrm{cos}\:{x}\right)^{\mathrm{2}{k}} . \\ $$$$\mathrm{Montrer}\:\mathrm{que}\:\left({f}_{{k}} \right)_{{k}\in\mathbb{N}^{\ast} } \:\mathrm{converge}\:\mathrm{vers}\:\chi_{\pi\mathbb{Z}} . \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{2}.\:\mathrm{Soit}\:{n}\:\mathrm{un}\:\mathrm{param}\grave {\mathrm{e}tre}\:\mathrm{fix}\acute {\mathrm{e}}\:\mathrm{dans}\:\mathbb{N}. \\ $$$$\mathrm{Pour}\:{k}\:\mathrm{dans}\:\mathbb{N}^{\ast} \:\mathrm{notons}\:{g}_{{k}} \::\:{x}\: \:{f}_{{k}} \left({n}!\pi{x}\right). \\ $$$$\mathrm{Montrer}\:\mathrm{que}\:\left({g}_{{k}} \right)_{{k}\in\mathbb{N}^{\ast} } \:\mathrm{converge}\:\mathrm{vers}\:\mathrm{une}\:\mathrm{application}\:{g}^{\left({n}\right)} \:\grave {\mathrm{a}} \\ $$$$\mathrm{d}\acute {\mathrm{e}terminer},\:\mathrm{d}\acute {\mathrm{e}pendante}\:\mathrm{du}\:\mathrm{param}\grave {\mathrm{e}tre}\:{n}.\:\acute {\mathrm{E}crire}\:{g}^{\left({n}\right)} \:\mathrm{sous} \\ $$$$\mathrm{la}\:\mathrm{forme}\:\chi_{{A}} \:\mathrm{o}\grave {\mathrm{u}}\:{A}\:\mathrm{est}\:\mathrm{une}\:\mathrm{partie}\:\mathrm{de}\:\mathbb{R}\:\grave {\mathrm{a}}\:\mathrm{d}\acute {\mathrm{e}terminer}. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{3}.\:\mathrm{Montrer}\:\mathrm{que}\:\mathrm{la}\:\mathrm{suite}\:\mathrm{de}\:\mathrm{fonctions}\:\left({g}^{\left({n}\right)} \right)_{{n}\in\mathbb{N}} \:\mathrm{converge}\:\mathrm{vers}\:\chi_{\mathbb{Q}} . \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{4}.\:\mathrm{Soit}\:{x}\:\mathrm{dans}\:\mathbb{R}.\:\mathrm{Calculer}\:\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\left(\underset{{k}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\left(\mathrm{cos}\left({n}!\pi{x}\right)\right)^{\mathrm{2}{k}} \:\right). \\ $$