Question Number 213109 by mathlove last updated on 30/Oct/24
$$\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\sqrt{{x}+\sqrt{{x}+\sqrt{{x}}}}}{\:\sqrt{{x}+\mathrm{1}}}=? \\ $$
Answered by MrGaster last updated on 30/Oct/24
$$=\frac{\sqrt{{x}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{{x}}}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)}}{\:\sqrt{{x}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)}} \\ $$$$=\frac{\sqrt{{x}}\sqrt{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{{x}}}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}}}{\:\sqrt{{x}}\sqrt{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}}} \\ $$$$=\frac{\sqrt{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{{x}}}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}}}{\:\sqrt{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}}} \\ $$$$\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\frac{\sqrt{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{{x}}}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}}}{\:\sqrt{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{x}}}} \\ $$$$=\frac{\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{0}+\mathrm{0}}}{\:\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{0}}} \\ $$$$=\frac{\sqrt{\mathrm{1}}}{\:\sqrt{\mathrm{1}}} \\ $$$$=\mathrm{1} \\ $$
Answered by efronzo1 last updated on 30/Oct/24
$$\:=\:\sqrt{\underset{{x}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{x}\left(\mathrm{1}+\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}+\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }}}\right)}{\mathrm{x}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)}} \\ $$$$\:=\:\sqrt{\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}}}\:=\:\mathrm{1} \\ $$