Question Number 213643 by Abdullahrussell last updated on 12/Nov/24
$$\:{Find}\:{the}\:{maximum}\:{value}\:{of} \\ $$$$\:\mathrm{3}{sin}^{\mathrm{2}} {x}−\mathrm{8}{cosx}+\mathrm{5}=? \\ $$
Answered by Berbere last updated on 12/Nov/24
$${sin}^{\mathrm{2}} \left({x}\right)=\mathrm{1}−{cos}^{\mathrm{2}} \left({x}\right) \\ $$$${t}={cos}\left({x}\right);{t}\in\left[−\mathrm{1},\mathrm{1}\right] \\ $$$${study}\:{t}\rightarrow{f}\left({t}\right)=\mathrm{3}\left(\mathrm{1}−{t}^{\mathrm{2}} \right)−\mathrm{8}{t}+\mathrm{5}\:{t} \\ $$
Answered by golsendro last updated on 12/Nov/24
$$\:\:\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\:\mathrm{3}\left(\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\right)−\mathrm{8cos}\:\mathrm{x}+\mathrm{5} \\ $$$$\:\:\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\:−\mathrm{3cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{x}−\mathrm{8cos}\:\mathrm{x}+\:\mathrm{8} \\ $$$$\:\:\mathrm{cos}\:\mathrm{x}=\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{F}_{\mathrm{1}} =−\mathrm{3}−\mathrm{8}+\mathrm{8}\:=−\mathrm{3} \\ $$$$\:\:\mathrm{cos}\:\mathrm{x}=−\mathrm{1}\Rightarrow\mathrm{F}_{\mathrm{2}} =−\mathrm{3}+\mathrm{8}+\mathrm{8}=\:\mathrm{13} \\ $$$$\:\:\mathrm{cos}\:\mathrm{x}=−\frac{\left(−\mathrm{8}\right)}{\mathrm{2}.\left(−\mathrm{3}\right)}=\:−\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}\:\left(\mathrm{rejected}\right) \\ $$$$\:\:\therefore\:\mathrm{max}\:\mathrm{value}\:=\:\mathrm{13} \\ $$
Answered by a.lgnaoui last updated on 12/Nov/24