Question Number 213642 by universe last updated on 12/Nov/24
Answered by Berbere last updated on 12/Nov/24
$${a}_{{n}} =\underset{{N}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\underset{{k}={n}} {\overset{{N}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}^{\mathrm{2}} };\forall{k}\geqslant{n}>\mathrm{1}\:\:{k}\left({k}−\mathrm{1}\right)\:\leqslant{k}^{\mathrm{2}} \leqslant{k}\left({k}+\mathrm{1}\right)\Rightarrow \\ $$$$\underset{{N}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\underset{{k}={n}} {\overset{{N}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}\left({k}−\mathrm{1}\right)}\underset{} {\geqslant}{a}_{{n}} \geqslant\underset{{k}={n}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}\left({k}+\mathrm{1}\right)}=\underset{{k}={n}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{k}}−\frac{\mathrm{1}}{{k}+\mathrm{1}}=\frac{\mathrm{1}}{{n}} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{{n}−\mathrm{1}}\geqslant{a}_{{n}} \geqslant\frac{\mathrm{1}}{{n}}\Rightarrow\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}{n}.{a}_{{n}} =\mathrm{1} \\ $$$${n}^{\mathrm{2}} {a}_{{n}} \geqslant{n}\Rightarrow\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:{n}^{\mathrm{2}} {a}_{{n}} =+\infty \\ $$
Commented by universe last updated on 12/Nov/24
$${thank}\:{you}\:{so}\:{much}\:{sir} \\ $$