Question Number 214661 by efronzo1 last updated on 15/Dec/24
Answered by Rasheed.Sindhi last updated on 15/Dec/24
$${x}.{f}\left({x}\right)+{x}.{f}\left(\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)={x}+\mathrm{1} \\ $$$${f}\left({x}\right)+{f}\left(\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)=\frac{{x}+\mathrm{1}}{{x}}……{A} \\ $$$${Replace}\:{x}\:{by}\:\:\frac{\mathrm{1}}{{x}}: \\ $$$${f}\left(\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right)+\:{f}\left({x}\right)=\frac{\frac{\mathrm{1}}{{x}}+\mathrm{1}}{\frac{\mathrm{1}}{{x}}}={x}+\mathrm{1}…{B} \\ $$$${A}\:\&\:{B}:\:\:\:\frac{{x}+\mathrm{1}}{{x}}={x}+\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{x}\left({x}+\mathrm{1}\right)−\left({x}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left({x}+\mathrm{1}\right)\left({x}−\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{x}=\pm\mathrm{1} \\ $$$$\mathcal{T}{he}\:{given}\:{functional}\:{equation}\:{is} \\ $$$${true}\:{only}\:{for}\:{x}=\pm\mathrm{1}\: \\ $$