Question Number 215017 by Hery03 last updated on 25/Dec/24
$${R}\acute {{e}soudre}\:{dans}\:\mathbb{C}\:{l}'\acute {{e}quation}\:: \\ $$$${sin}\left({z}\right)\:=\:\mathrm{2}. \\ $$
Answered by MrGaster last updated on 25/Dec/24
$${z}=−{i}\:\mathrm{ln}\left(\underset{\mathrm{simplify}} {\underbrace{\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }+\mathrm{2}{i}}}\right)+\mathrm{2}{k}\pi{i}\:{k}\:\in\:\mathbb{Z} \\ $$$${z}=−{i}\mathrm{ln}\left(\sqrt{−\mathrm{3}}+\mathrm{2}{i}\right)+\mathrm{2}{k}\pi{i} \\ $$$${z}=−{i}\mathrm{ln}\left({i}\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{2}{i}\right)+\mathrm{2}{k}\pi{i} \\ $$$${z}=−{i}\mathrm{ln}\left({i}\left(\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{2}\right)\right)+\mathrm{2}{k}\pi{i} \\ $$$${z}=−{i}\left(\mathrm{ln}\left({i}\right)+\mathrm{ln}\left(.\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{2}\right)\right)+\mathrm{2}{k}\pi{i} \\ $$$${z}=−{i}\left(\frac{{i}\pi}{\mathrm{2}}+\mathrm{ln}\left(\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{2}\right)\right)+\mathrm{2}{k}\pi{i} \\ $$$${z}=\frac{\pi}{\mathrm{2}}−{i}\:\mathrm{ln}\left(\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{2}\right)+\mathrm{2}{k}\pi{i} \\ $$$${z}=\frac{\pi}{\mathrm{2}}+\left(\mathrm{2}{k}\pi−\mathrm{ln}\left(\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{2}\right)\right){i} \\ $$$${C}\mathrm{onsidering}\:\mathrm{that}\:\mathrm{sin}\left({z}\right)\:\mathrm{is}\:\mathrm{a} \\ $$$$\mathrm{periodic}\:\mathrm{function}\:\mathrm{also}\:\mathrm{need}\:\mathrm{to} \\ $$$$\mathrm{add}\:\mathrm{its}\:\mathrm{conjugate}\:\mathrm{solution}: \\ $$$${z}=\frac{\pi}{\mathrm{2}}+\left(\mathrm{2}{k}\pi+\mathrm{ln}\left(\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{2}\right)\right){i} \\ $$$$\mathrm{so}\:\mathrm{the}\:\mathrm{complete}\:\mathrm{set}\:\mathrm{of}\:\mathrm{solutions}\:\mathrm{is}: \\ $$$${z}=\frac{\pi}{\mathrm{2}}+\left(\mathrm{2}{k}\pi\pm\mathrm{ln}\left(\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{2}\right)\right){i}\:{k}\:\in\:\mathbb{Z} \\ $$