Question Number 215166 by MathematicalUser2357 last updated on 30/Dec/24
$$\mathrm{If}\:\mathrm{the}\:\mathrm{quadratic}\:\mathrm{equation}\:\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{8}{x}+\mathrm{2}{k}=\mathrm{0}\:\mathrm{has}\:\mathrm{two}\:\mathrm{different}\:\mathrm{negative}\:\mathrm{real}\:\mathrm{roots}, \\ $$$$\mathrm{Determine}\:\mathrm{the}\:\mathrm{range}\:\mathrm{of}\:{k}\:\left(\mathrm{For}\:\mathrm{example},\:\mathrm{0}<{k}<\mathrm{3}\right)\:\mathrm{or}\:\mathrm{I}\:\mathrm{will}\:\mathrm{force}\:\mathrm{you}\:\mathrm{to}\:\mathrm{determine} \\ $$
Answered by A5T last updated on 30/Dec/24
$$\mathrm{x}_{\mathrm{1},\mathrm{2}} =\frac{−\mathrm{8}\underset{−} {+}\sqrt{\mathrm{64}−\mathrm{24k}}}{\mathrm{6}}=\frac{−\mathrm{8}\underset{−} {+}\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{16}−\mathrm{6k}}}{\mathrm{6}} \\ $$$$=\frac{−\mathrm{4}\underset{−} {+}\sqrt{\mathrm{16}−\mathrm{6k}}}{\mathrm{3}};\: \\ $$$$\mathrm{16}−\mathrm{6k}\neq\mathrm{0}\:\wedge\:\mathrm{16}−\mathrm{6k}>\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{k}<\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{3}}\:\wedge\:−\mathrm{4}+\sqrt{\mathrm{16}−\mathrm{6k}}<\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{k}<\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{3}}\:\wedge\:\mathrm{16}−\mathrm{6k}\leqslant\mathrm{16}\Rightarrow\mathrm{k}>\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{0}<\mathrm{k}<\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{3}}\: \\ $$