Question Number 215343 by RoseAli last updated on 03/Jan/25
$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{3}{x}\mathrm{cos5}{x}\:}{{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$
Commented by Frix last updated on 04/Jan/25
$$\mathrm{Does}\:\mathrm{not}\:\mathrm{exist}. \\ $$
Answered by MrGaster last updated on 04/Jan/25
$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{3}{x}\mathrm{cos5}{x}\:}{{x}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\left(\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{3}{x}}{\mathrm{3}{x}}\centerdot\frac{\mathrm{3}\:\mathrm{cos5}{x}}{\mathrm{2}{x}}\right) \\ $$$$=\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\left(\frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{3}{x}}{\mathrm{3}{x}}\right)\centerdot\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\left(\frac{\mathrm{3}\:\mathrm{cos5}{x}}{\mathrm{2}{x}}\right) \\ $$$$=\mathrm{1}\centerdot\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\left(\frac{\mathrm{3}\:\mathrm{cos5}{x}}{\mathrm{2}{x}}\right) \\ $$$$=\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\left(\frac{\mathrm{3}\:\mathrm{cos5}{x}}{\mathrm{2}{x}}\right) \\ $$$$=\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\left(\frac{\mathrm{3}\:\mathrm{cos5}{x}}{\mathrm{2}}\centerdot\frac{\mathrm{1}}{{x}}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\left(\frac{\mathrm{cos5}{x}}{{x}}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\centerdot\underset{{x}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\left(\frac{\mathrm{cos5}{x}−\mathrm{cos5}\centerdot\mathrm{0}}{{x}−\mathrm{0}}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\centerdot\left(−\mathrm{5}\:\mathrm{sin5}\centerdot\mathrm{0}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\centerdot\left(−\mathrm{5}\centerdot\mathrm{0}\right) \\ $$$$=\mathrm{0}\:\mathrm{or}\:−\mathrm{15} \\ $$