Comparto-otro-reto-de-matematicas-que-dice-literalmente-Hallar-las-ecuaciones-de-3-circunferencias-mutuamente-tangentes-y-de-radios-los-3-iguales-Este-reto-depende-en-que-cuadrante-se-repre

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Question Number 216733 by josemanuelrios last updated on 17/Feb/25

$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$\mathrm{Comparto}\mathrm{otro}\mathrm{reto}\mathrm{de}\mathrm{matematicas}\mathrm{que}$$$$\mathrm{dice}\mathrm{literalmente}:$$$$\mathrm{Hallar}\mathrm{las}\mathrm{ecuaciones}\mathrm{de}3\mathrm{circunferencias}$$$$\mathrm{mutuamente}\mathrm{tangentes}\mathrm{y}\mathrm{de}\mathrm{radios}\mathrm{los}3$$$$\mathrm{iguales}.$$$$\mathrm{Este}\mathrm{reto}\mathrm{depende}\mathrm{en}\mathrm{que}\mathrm{cuadrante}\mathrm{se}$$$$\mathrm{representen}\mathrm{las}\mathrm{circunferencias}$$$$\mathrm{yo}\mathrm{use}\mathrm{el}\mathrm{primer}\mathrm{cuadrante}.$$$$\mathrm{Recordemos}\mathrm{la}\mathrm{ecuacion}\mathrm{de}\mathrm{la}$$$$\mathrm{circunferencia}\mathrm{es}$$$${\mathrm{x}}^2+{\mathrm{y}}^2={\mathrm{R}}^2$$$$\mathrm{En}\mathrm{donde}\mathrm{tienen}\mathrm{este}\mathrm{significado}:$$$$\mathrm{x}\mathrm{es}\mathrm{la}\mathrm{abcisa}\mathrm{eje}\mathrm{horizontal}.$$$$\mathrm{y}\mathrm{es}\mathrm{la}\mathrm{ordenada}\mathrm{eje}\mathrm{vertical}.$$$$\mathrm{R}\mathrm{es}\mathrm{el}\mathrm{radio}\mathrm{de}\mathrm{la}\mathrm{circunferencia}.$$$$\mathrm{Claro}\mathrm{esta}\mathrm{circunferencia}\mathrm{tiene}\mathrm{su}\mathrm{centro}$$$$\mathrm{en}\mathrm{el}\mathrm{origen}\mathrm{es}\mathrm{decir}:$$$$\mathrm{x}=0$$$$\mathrm{y}=0$$$$\mathrm{Ahora}\mathrm{si}\mathrm{deseamos}\mathrm{representar}\mathrm{la}$$$$\mathrm{circunferencia}\mathrm{desplazada}\mathrm{a}\mathrm{cierta}$$$$\mathrm{distancia}\mathrm{del}\mathrm{origen}\mathrm{con}\mathrm{el}\mathrm{centro}\mathrm{en}\mathrm{un}$$$$\mathrm{nuevo}\mathrm{punto}\mathrm{en}:$$$$\mathrm{x}=\mathrm{h}$$$$\mathrm{y}=\mathrm{k}$$$$\mathrm{tendremos}\mathrm{que}\mathrm{utilizar}\mathrm{esta}\mathrm{nueva}$$$$\mathrm{ecuacion}:$$$${(\mathrm{x}-\mathrm{h})}^2+{(\mathrm{y}-\mathrm{k})}^2={\mathrm{R}}^2$$$$\mathrm{Yo}\mathrm{utilizo}\mathrm{la}\mathrm{aplicacion}\mathrm{Geogebra}2\mathrm{D}\mathrm{y}3\mathrm{D}$$$$\mathrm{Por}\mathrm{utilidad}\mathrm{defini}\mathrm{el}\mathrm{radio}\mathrm{R}=5\mathrm{unidades}$$$$\mathrm{de}\mathrm{longitud}\mathrm{pero}\mathrm{se}\mathrm{puede}\mathrm{usar}\mathrm{otro}\mathrm{valor}.$$$$\mathrm{Yo}\mathrm{define}\mathrm{lo}\mathrm{siguiente}:$$$$1.-\mathrm{Localize}\mathrm{la}\mathrm{primera}\mathrm{circunferencia}$$$$\mathrm{con}\mathrm{puntos}\mathrm{de}\mathrm{contacto}\mathrm{en}\mathrm{ejes}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{ademas}$$$$\mathrm{de}\mathrm{eje}\left(\mathrm{y}\right)\mathrm{como}\mathrm{se}\mathrm{ve}\mathrm{en}\mathrm{la}\mathrm{grafica}1.$$$$\mathrm{Obio}\mathrm{al}\mathrm{definir}\mathrm{esto}:$$$$\mathrm{h}=5$$$$\mathrm{k}=5$$$$\mathrm{Con}\mathrm{lo}\mathrm{cual}\mathrm{la}\mathrm{primera}\mathrm{ecuacion}\mathrm{es}:$$$${(\mathrm{x}-5)}^2+{(\mathrm{y}-5)}^2=25$$$$2.-\mathrm{Localize}\mathrm{la}\mathrm{segunda}\mathrm{circunferencia}$$$$\mathrm{con}\mathrm{puntos}\mathrm{de}\mathrm{contacto}\mathrm{con}\mathrm{el}\mathrm{eje}\left(\mathrm{x}\right)$$$$\mathrm{y}\mathrm{tangente}\mathrm{a}\mathrm{la}\mathrm{primera}\mathrm{como}\mathrm{se}\mathrm{ve}\mathrm{en}$$$$\mathrm{la}\mathrm{grafica}2.$$$$\mathrm{Obio}\mathrm{al}\mathrm{definir}\mathrm{esto}:$$$$\mathrm{h}=5+10=15$$$$\mathrm{k}=5\mathrm{no}\mathrm{varia}$$$$\mathrm{Con}\mathrm{lo}\mathrm{cual}\mathrm{la}\mathrm{segunda}\mathrm{ecuacion}\mathrm{es}:$$$${(\mathrm{x}-15)}^2+{(\mathrm{y}-5)}^2=25$$$$3.-\mathrm{Localize}\mathrm{la}\mathrm{tercera}\mathrm{circunferencia}$$$$\mathrm{mutuamente}\mathrm{tangente}\mathrm{a}\mathrm{las}2\mathrm{primeras}$$$$\mathrm{circunferencias}\mathrm{como}\mathrm{se}\mathrm{ve}\mathrm{en}\mathrm{la}$$$$\mathrm{grafica}3$$$$\mathrm{Obio}\mathrm{definir}\mathrm{esto}:$$$$\mathrm{h}=5+5=10$$$$\mathrm{Para}\left(\mathrm{y}\right)\mathrm{tenemos}\mathrm{que}\mathrm{hacer}\mathrm{lo}\mathrm{siguiente}:$$$$\mathrm{Uniendo}\mathrm{los}3\mathrm{centros}\mathrm{de}\mathrm{las}$$$$\mathrm{circunferencias}\mathrm{se}\mathrm{forma}\mathrm{un}\mathrm{triangulo}$$$$\mathrm{equilatero}\mathrm{con}\mathrm{angulo}\mathrm{interno}\mathrm{de}60°$$$$\mathrm{Ahora}\mathrm{trazamos}\mathrm{una}\mathrm{linea}\mathrm{vertical}\mathrm{que}\mathrm{une}$$$$\mathrm{el}\mathrm{vertice}\mathrm{superior}\mathrm{con}\mathrm{la}\mathrm{parte}\mathrm{media}\mathrm{de}$$$$\mathrm{la}\mathrm{base}.$$$$\mathrm{Con}\mathrm{esto}\mathrm{formamos}\mathrm{un}\mathrm{triangulo}$$$$\mathrm{rectangulo}\mathrm{y}\mathrm{planteamos}\mathrm{esto}:$$$$\tan 60°=\frac{\mathrm{H}}{\mathrm{R}}$$$$\mathrm{siendo}\mathrm{H}\mathrm{la}\mathrm{altura}\mathrm{del}\mathrm{triangulo}$$$$\mathrm{Despejamos}\mathrm{H}=\mathrm{Rtan}60°$$$$\mathrm{Nos}\mathrm{interesa}\mathrm{la}\mathrm{distancia}\left(\mathrm{y}\right)\mathrm{y}\mathrm{tenemos}$$$$\mathrm{esto}:$$$$\mathrm{y}=\mathrm{R}+\mathrm{R}\tan 60°=\mathrm{R}(1+\tan 60°)=$$$$\mathrm{y}=5(1+\sqrt{3)}$$$$\mathrm{Con}\mathrm{lo}\mathrm{cual}\mathrm{la}\mathrm{ecuacion}\mathrm{de}\mathrm{la}\mathrm{tercera}$$$$\mathrm{circunferencia}\mathrm{es}:$$$${(\mathrm{x}-10)}^2+{(\mathrm{y}-(1+\sqrt{3}))}^2=25$$$$\mathrm{Con}\mathrm{lo}\mathrm{cual}\mathrm{se}\mathrm{tienen}\mathrm{ya}\mathrm{las}3\mathrm{ecuaciones}$$$$\mathrm{de}\mathrm{las}\mathrm{circunferencias}\mathrm{mutuamente}$$$$\mathrm{tangentes}.$$$$\mathrm{Espero}\mathrm{les}\mathrm{sea}\mathrm{de}\mathrm{utilidad}\mathrm{saludos}$$$$$$$$$$$$$$$$$$

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