n-1-1-n-1-n-n-n-1-

Question Number 145025 by mathdanisur last updated on 01/Jul/21

Σ_(n=1) ^∞ (1/((n+1)(√n)+n(√(n+1)))) = ?

$$\underset{\boldsymbol{{n}}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\left({n}+\mathrm{1}\right)\sqrt{{n}}+{n}\sqrt{{n}+\mathrm{1}}}\:=\:? \\ $$

Answered by phally last updated on 01/Jul/21

=Σ_(n=1) ^∞ (((n+1)(√n)−n(√(n+1)))/([(n+1)(√n)]^2 −(n(√(n+1)))^2 )) =Σ_(n=1) ^∞ (((n+1)(√n)−n(√(n+1)))/( (√n^2 )(n^2 +2n+1)−n^2 (n+1))) =Σ_(n=1) ^∞ (((n+1)(√n)−n(√(n+1)))/(n^3 +2n^2 +n−n^3 −n^2 )) =Σ_(n=1) ^∞ (((n+1)(√n)−n(√(n+1)))/(n(n+1))) =Σ_(n=1) ^∞ ((1/( (√n)))−(1/( (√(n+1))))) =1−(1/( (√(n+1))))

$$=\underset{\mathrm{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{n}}−\mathrm{n}\sqrt{\mathrm{n}+\mathrm{1}}}{\left[\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{n}}\right]^{\mathrm{2}} −\left(\mathrm{n}\sqrt{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\underset{\mathrm{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{n}}−\mathrm{n}\sqrt{\mathrm{n}+\mathrm{1}}}{\:\sqrt{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }\left(\mathrm{n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)−\mathrm{n}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\underset{\mathrm{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{n}}−\mathrm{n}\sqrt{\mathrm{n}+\mathrm{1}}}{\mathrm{n}^{\mathrm{3}} +\mathrm{2n}^{\mathrm{2}} +\mathrm{n}−\mathrm{n}^{\mathrm{3}} −\mathrm{n}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\underset{\mathrm{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{n}}−\mathrm{n}\sqrt{\mathrm{n}+\mathrm{1}}}{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\underset{\mathrm{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{n}}}−\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{n}+\mathrm{1}}}\right) \\ $$$$=\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{n}+\mathrm{1}}} \\ $$

Commented by mathdanisur last updated on 01/Jul/21

$${thank}\:{you}\:{Sir},\:{answer}? \\ $$

Commented by JDamian last updated on 01/Jul/21

you only have to get now the limit when n --> inf

Answered by mathmax by abdo last updated on 01/Jul/21

S_n =Σ_(k=1) ^n (1/((k+1)(√k)+k(√(k+1)))) ⇒ S_n =Σ_(k=1) ^n (((k+1)(√k)−k(√(k+1)))/((k+1)^2 k−k^2 (k+1))) =Σ_(k=1) ^n (((k+1)(√k)−k(√(k+1)))/((k^2 +2k+1)k−k^3 −k^2 )) =Σ_(k=1) ^n (((k+1)(√k)−k(√(k+1)))/(k^3 +2k^2 +k−k^3 −k^2 )) =Σ_(k=1) ^n (((k+1)(√k)−k(√(k+1)))/(k(k+1))) =Σ_(k=1) ^n ((1/( (√k)))−(1/( (√(k+1)))))=1−(1/( (√2)))+(1/( (√2)))−(1/( (√3)))+.....+(1/( (√n)))−(1/( (√(n+1)))) =1−(1/( (√(n+1)))) ⇒lim_(n→+∞) S_n =1 =Σ_(n=1) ^∞ (....)

$$\mathrm{S}_{\mathrm{n}} =\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{k}}+\mathrm{k}\sqrt{\mathrm{k}+\mathrm{1}}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{S}_{\mathrm{n}} =\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{k}}−\mathrm{k}\sqrt{\mathrm{k}+\mathrm{1}}}{\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \mathrm{k}−\mathrm{k}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{k}}−\mathrm{k}\sqrt{\mathrm{k}+\mathrm{1}}}{\left(\mathrm{k}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2k}+\mathrm{1}\right)\mathrm{k}−\mathrm{k}^{\mathrm{3}} −\mathrm{k}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{k}}−\mathrm{k}\sqrt{\mathrm{k}+\mathrm{1}}}{\mathrm{k}^{\mathrm{3}} \:+\mathrm{2k}^{\mathrm{2}} +\mathrm{k}−\mathrm{k}^{\mathrm{3}} −\mathrm{k}^{\mathrm{2}} }\:=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{k}}−\mathrm{k}\sqrt{\mathrm{k}+\mathrm{1}}}{\mathrm{k}\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{k}}}−\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{k}+\mathrm{1}}}\right)=\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}−\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}+…..+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{n}}}−\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{n}+\mathrm{1}}} \\ $$$$=\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{n}+\mathrm{1}}}\:\Rightarrow\mathrm{lim}_{\mathrm{n}\rightarrow+\infty} \mathrm{S}_{\mathrm{n}} =\mathrm{1}\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \left(….\right) \\ $$

Commented by mathdanisur last updated on 01/Jul/21