Question Number 14071 by tawa tawa last updated on 27/May/17
$$\mathrm{Solve}\:\mathrm{the}\:\mathrm{Partial}\:\mathrm{fraction}\: \\ $$$$\frac{\mathrm{3x}^{\mathrm{4}} \:−\:\mathrm{9x}^{\mathrm{3}} \:+\:\mathrm{16x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{9x}\:+\:\mathrm{13}}{\left(\mathrm{x}\:−\:\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{2x}\:−\:\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$
Commented by Tinkutara last updated on 27/May/17
$$\mathrm{I}\:\mathrm{have}\:\mathrm{done}\:\mathrm{by}\:\mathrm{calculator}: \\ $$$$\frac{\mathrm{32}}{\left({x}\:−\:\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:−\:\frac{\mathrm{230}}{{x}\:−\:\mathrm{1}}\:+\:\frac{\mathrm{93}{x}\:+\:\mathrm{287}}{\left({x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{2}{x}\:−\:\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} }\:+ \\ $$$$\frac{\mathrm{230}{x}\:+\:\mathrm{661}}{{x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{2}{x}\:−\:\mathrm{2}} \\ $$
Answered by RasheedSindhi last updated on 28/May/17
$$\mathrm{Let} \\ $$$$\frac{\mathrm{A}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{x}−\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{A}_{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{B}_{\mathrm{1}} \mathrm{x}+\mathrm{C}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{2x}\:−\:\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{B}_{\mathrm{2}} \mathrm{x}+\mathrm{C}_{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{2x}\:−\:\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{3x}^{\mathrm{4}} \:−\:\mathrm{9x}^{\mathrm{3}} \:+\:\mathrm{16x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{9x}\:+\:\mathrm{13}}{\left(\mathrm{x}\:−\:\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{2x}\:−\:\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Multiplying}\:\mathrm{by}\:\left(\mathrm{x}\:−\:\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{2x}\:−\:\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{A}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\:−\:\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{2x}\:−\:\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{A}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{2x}\:−\:\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\left(\mathrm{B}_{\mathrm{1}} \mathrm{x}+\mathrm{C}_{\mathrm{1}} \right)\left(\mathrm{x}\:−\:\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{2x}\:−\:\mathrm{2}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\left(\mathrm{B}_{\mathrm{2}} \mathrm{x}+\mathrm{C}_{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{x}\:−\:\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:=\mathrm{3x}^{\mathrm{4}} \:−\:\mathrm{9x}^{\mathrm{3}} \:+\:\mathrm{16x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{9x}\:+\:\mathrm{13} \\ $$$$\:\:\:\:=\left(\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{15x}+\mathrm{52}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}−\mathrm{2}\right)−\mathrm{125x}+\mathrm{117}..\left(\mathrm{A}\right) \\ $$$$\mathrm{Let}\:\mathrm{x}=\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{3}\left(\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}} \:−\:\mathrm{9}\left(\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} \:+\:\mathrm{16}\left(\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{9}\left(\mathrm{1}\right)\:+\:\mathrm{13} \\ $$$$\:\:\:\:=\mathrm{A}_{\mathrm{2}} \left(\left(\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{2}\left(\mathrm{1}\right)\:−\:\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{3}−\mathrm{9}+\mathrm{16}+\mathrm{9}+\mathrm{13}=\mathrm{A}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}+\mathrm{2}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{A}_{\mathrm{2}} =\mathrm{32} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Let}\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{2x}\:−\:\mathrm{2}=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{x}=\pm\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{1}=\pm{a} \\ $$$$\:\:\:\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}−\mathrm{2}=\left(\mathrm{x}−{a}\right)\left(\mathrm{x}+{a}\right) \\ $$$$\:\:\mathrm{putting}\:\mathrm{in}\:\mathrm{A} \\ $$$$\left(\mathrm{B}_{\mathrm{2}} \left(\pm{a}\right)+\mathrm{C}_{\mathrm{2}} \right)\left(\pm{a}−\:\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:=\left(\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{15x}+\mathrm{52}\right)\left(\mathrm{0}\right)−\mathrm{125}\left(\pm{a}\right)+\mathrm{117} \\ $$$$\left(\pm{a}\right)\left(\pm{a}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \mathrm{B}_{\mathrm{2}} +\left(\pm{a}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \mathrm{C}_{\mathrm{2}} =−\mathrm{125}\left(\pm{a}\right)+\mathrm{117} \\ $$$$\mathrm{continue}. \\ $$
Commented by tawa tawa last updated on 27/May/17
$$\mathrm{Am}\:\mathrm{with}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir}. \\ $$
Answered by RasheedSindhi last updated on 28/May/17
$$\frac{\mathrm{3x}^{\mathrm{4}} \:−\:\mathrm{9x}^{\mathrm{3}} \:+\:\mathrm{16x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{9x}\:+\:\mathrm{13}}{\left(\mathrm{x}\:−\:\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{2x}\:−\:\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} }…\left(\mathrm{A}\right) \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}−\mathrm{2}=\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{3} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{x}=\pm\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{1}=\pm\boldsymbol{{a}} \\ $$$$\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}−\mathrm{2}=\left(\mathrm{x}−{a}\right)\left(\mathrm{x}+{a}\right) \\ $$$$\mathrm{3x}^{\mathrm{4}} \:−\:\mathrm{9x}^{\mathrm{3}} \:+\:\mathrm{16x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{9x}\:+\:\mathrm{13} \\ $$$$\:\:\:\:=\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}−\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{15x}+\mathrm{52}\right)−\mathrm{125x}+\mathrm{117} \\ $$$$\:\:\:=\left(\mathrm{x}−{a}\right)\left(\mathrm{x}+{a}\right)\left(\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{15x}+\mathrm{52}\right)−\mathrm{125x}+\mathrm{117} \\ $$$$\left(\mathrm{A}\right)\Rightarrow\frac{\mathrm{3x}^{\mathrm{4}} \:−\:\mathrm{9x}^{\mathrm{3}} \:+\:\mathrm{16x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{9x}\:+\:\mathrm{13}}{\left(\mathrm{x}\:−\:\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}−{a}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}+{a}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left[{Here}\:{a}=\pm\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{1}\right] \\ $$$$ \\ $$$$\frac{\mathrm{3x}^{\mathrm{4}} \:−\:\mathrm{9x}^{\mathrm{3}} \:+\:\mathrm{16x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{9x}\:+\:\mathrm{13}}{\left(\mathrm{x}\:−\:\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}−{a}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}+{a}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\:\:\:=\frac{\mathrm{A}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{x}−\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{A}_{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{B}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{x}−{a}}+\frac{\mathrm{B}_{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{x}−{a}\right)^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{C}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{x}+{a}}+\frac{\mathrm{C}_{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{x}+{a}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{3x}^{\mathrm{4}} \:−\:\mathrm{9x}^{\mathrm{3}} \:+\:\mathrm{16x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{9x}\:+\:\mathrm{13} \\ $$$$\:\:=\mathrm{A}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\:−\:\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}−{a}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}+{a}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:+\mathrm{A}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}−{a}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}+{a}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:+\mathrm{B}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\:−\:\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}−{a}\right)\left(\mathrm{x}+{a}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\mathrm{B}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\:−\:\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}+{a}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\mathrm{C}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\:−\:\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}−{a}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}+{a}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\mathrm{C}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\:−\:\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}−{a}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{x}=\mathrm{1}\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{3}\left(\mathrm{1}\right)^{\mathrm{4}} \:−\:\mathrm{9}\left(\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} \:+\:\mathrm{16}\left(\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{9}\left(\mathrm{1}\right)\:+\:\mathrm{13} \\ $$$$\:\:\:\:\:=\mathrm{A}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}−{a}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}+{a}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{3}−\mathrm{9}+\mathrm{16}+\mathrm{9}+\mathrm{13}=\mathrm{A}_{\mathrm{2}} \left[\left(\mathrm{x}−{a}\right)\left(\mathrm{x}+{a}\right)\right]^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{32}=\mathrm{A}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2x}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{32}=\mathrm{A}_{\mathrm{2}} \left(\left(\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}\left(\mathrm{1}\right)−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{A}_{\mathrm{2}} =\mathrm{32} \\ $$$$\mathrm{x}={a}\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{3x}^{\mathrm{4}} \:−\:\mathrm{9x}^{\mathrm{3}} \:+\:\mathrm{16x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{9x}\:+\:\mathrm{13} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{B}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\:−\:\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}+{a}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\left(\mathrm{x}−{a}\right)\left(\mathrm{x}+{a}\right)\left(\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{15x}+\mathrm{52}\right)−\mathrm{125x}+\mathrm{117} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{B}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\:−\:\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}+{a}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\left(\mathrm{0}\right)\left({a}+{a}\right)\left(\mathrm{3}{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{15}{a}+\mathrm{52}\right)−\mathrm{125}{a}+\mathrm{117} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{B}_{\mathrm{2}} \left({a}−\:\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left({a}+{a}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:−\mathrm{125}{a}+\mathrm{117}=\mathrm{B}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{4}{a}^{\mathrm{2}} \right)\left({a}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$$$\mathrm{B}_{\mathrm{2}} =\frac{−\mathrm{125}{a}+\mathrm{117}}{\mathrm{4}{a}^{\mathrm{2}} \left({a}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }=\boldsymbol{\mathrm{b}} \\ $$$$\mathrm{x}=−{a}\Rightarrow \\ $$$$\:\:\mathrm{C}_{\mathrm{2}} \left(−{a}\:−\:\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(−{a}−{a}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:=\left(\mathrm{x}−{a}\right)\left(−{a}+{a}\right)\left(\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{15x}+\mathrm{52}\right)−\mathrm{125x}+\mathrm{117} \\ $$$$\mathrm{C}_{\mathrm{2}} \left({a}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{4}{a}^{\mathrm{2}} \right)=−\mathrm{125}{a}+\mathrm{117} \\ $$$$\mathrm{C}_{\mathrm{2}} =\frac{−\mathrm{125}{a}+\mathrm{117}}{\mathrm{4}{a}^{\mathrm{2}} \left({a}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }=\boldsymbol{\mathrm{c}} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{3x}^{\mathrm{4}} \:−\:\mathrm{9x}^{\mathrm{3}} \:+\:\mathrm{16x}^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{9x}\:+\:\mathrm{13} \\ $$$$\:\:=\mathrm{A}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\:−\:\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}−{a}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}+{a}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:+\mathrm{A}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}−{a}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}+{a}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:+\mathrm{B}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\:−\:\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}−{a}\right)\left(\mathrm{x}+{a}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\mathrm{B}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\:−\:\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}+{a}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\mathrm{C}_{\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\:−\:\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}−{a}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}+{a}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\mathrm{C}_{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\:−\:\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}−{a}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$ \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\subset\circledcirc\cap\top\shortmid\cap\cup\in \\ $$
Commented by tawa tawa last updated on 28/May/17
$$\mathrm{God}\:\mathrm{bless}\:\mathrm{you}\:\mathrm{sir}.\:\mathrm{Am}\:\mathrm{with}\:\mathrm{you}. \\ $$