Question Number 145345 by qaz last updated on 04/Jul/21
$$\underset{\mathrm{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \mathrm{n}}{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)!}=? \\ $$
Answered by Olaf_Thorendsen last updated on 04/Jul/21
$$\mathrm{sin}{x}\:=\:\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \frac{{x}^{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}} }{\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)!} \\ $$$$\frac{\mathrm{sin}{x}}{{x}}\:=\:\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \frac{{x}^{\mathrm{2}{n}} }{\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)!} \\ $$$$\frac{\mathrm{sin}\sqrt{{x}}}{\:\sqrt{{x}}}\:=\:\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{{n}} {\sum}}\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \frac{{x}^{{n}} }{\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)!} \\ $$$$\frac{{d}}{{dx}}\left(\frac{\mathrm{sin}\sqrt{{x}}}{\:\sqrt{{x}}}\right)\:=\:\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \frac{{nx}^{{n}−\mathrm{1}} }{\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)!} \\ $$$$\frac{\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{{x}}}\mathrm{cos}\sqrt{{x}}\right)\sqrt{{x}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{{x}}}\mathrm{sin}\sqrt{{x}}}{{x}}\:=\:\:\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \frac{{nx}^{{n}−\mathrm{1}} }{\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)!} \\ $$$$\mathrm{For}\:{x}\:=\:\mathrm{1} \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{1}\right)−\mathrm{sin}\left(\mathrm{1}\right)\right)\:=\:\:\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} {n}}{\left(\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right)!} \\ $$