Question Number 145370 by imjagoll last updated on 04/Jul/21
$$\mathrm{There}\:\mathrm{are}\:\mathrm{two}\:\mathrm{circles}\:,\:\mathrm{C}\:\mathrm{of}\:\mathrm{radius}\:\mathrm{1}\:\mathrm{and}\:\mathrm{C}_{\mathrm{r}} \: \\ $$$$\mathrm{of}\:\mathrm{radius}\:\mathrm{r}\:\mathrm{which}\:\mathrm{intersect}\:\mathrm{on}\:\mathrm{a}\:\mathrm{plain}\: \\ $$$$\mathrm{At}\:\mathrm{each}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{two}\:\mathrm{intersecting} \\ $$$$\mathrm{points}\:\mathrm{on}\:\mathrm{the}\:\mathrm{circumferences}\:\mathrm{of} \\ $$$$\mathrm{C}\:\mathrm{and}\:\mathrm{C}_{\mathrm{r}} \:,\mathrm{the}\:\mathrm{tangent}\:\mathrm{to}\:\mathrm{C}\:\mathrm{and} \\ $$$$\mathrm{that}\:\mathrm{to}\:\mathrm{C}_{\mathrm{r}} \:\mathrm{form}\:\mathrm{an}\:\mathrm{angle}\:\mathrm{120}°\:\mathrm{outside} \\ $$$$\mathrm{of}\:\mathrm{C}\:\mathrm{and}\:\mathrm{C}_{\mathrm{r}} .\:\mathrm{Fill}\:\mathrm{in}\:\mathrm{the}\:\mathrm{blanks}\: \\ $$$$\mathrm{with}\:\mathrm{the}\:\mathrm{answers}\:\mathrm{to}\:\mathrm{the}\:\mathrm{following} \\ $$$$\mathrm{questions}\: \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)\:\mathrm{Express}\:\mathrm{the}\:\mathrm{distance}\:\mathrm{d}\:\mathrm{between} \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{centers}\:\mathrm{of}\:\mathrm{C}\:\mathrm{and}\:\mathrm{C}_{\mathrm{r}} \:\mathrm{in}\:\mathrm{terms} \\ $$$$\mathrm{of}\:\mathrm{r}\: \\ $$$$\left(\mathrm{2}\right)\:\mathrm{Calculate}\:\mathrm{the}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:\mathrm{r}\:\mathrm{at}\: \\ $$$$\mathrm{which}\:\mathrm{d}\:\mathrm{in}\:\left(\mathrm{1}\right)\:\mathrm{attains}\:\mathrm{the}\:\mathrm{minimum} \\ $$$$\left(\mathrm{3}\right)\:\mathrm{in}\:\mathrm{case}\left(\mathrm{2}\right)\:\mathrm{express}\:\mathrm{the}\:\mathrm{area} \\ $$$$\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{intersection}\:\mathrm{of}\:\mathrm{C}\:\mathrm{and}\:\mathrm{C}_{\mathrm{r}} \\ $$$$\mathrm{in}\:\mathrm{terms}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{constant}\:\pi \\ $$