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y-y-xsin2x-solve-the-differential-eqn-

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Question Number 145578 by rexford last updated on 06/Jul/21
y′′_y=xsin2x solve the differential eqn..
$${y}''\_{y}={xsin}\mathrm{2}{x} \\ $$$${solve}\:{the}\:{differential}\:{eqn}.. \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 06/Jul/21
y^(′′) −y =xsin(2x) e→r^2 −1=0 ⇒r=+^− 1 ⇒y=ae^x +be^(−x ) =au_1 +bu_2 w(u_1 ,u_2 )= determinant (((e^x e^(−x) )),((e^(x ) −e^(−x) )))=−2≠0 w_1 = determinant (((o e^(−x) )),((xsin(2x) −e^(−x) )))=−xe^(−x) sin(2x) w_2 = determinant (((e^x 0)),((e^x xsin(2x))))=xe^x sin(2x) v_1 =∫ (w_1 /w)dx=(1/2)∫xe^(−x) sin(2x)dx =(1/2)Im(∫ xe^(−x+2ix) dx) ∫ xe^((−1+2i)x) dx =(x/(−1+2i))e^((−1+2i)x) −∫ (1/(−1+2i))e^((−1+2i)x) dx =((−x)/(1−2i))e^((−1+2i)x) +(1/(1−2i))×(1/(−1+2i))e^((−1+2i)x) =((−x(1+2i))/5)e^(−x) (cos(2x)+isin(2x))−(1/((1−2i)^2 ))e^(−x) (cos(2x)+isin(2x)) =((−xe^(−x) )/5)(cos(2x)+isin(2x)+2icos(2x)−2sin(2x)) −(((1+2i)^2 )/(25))e^(−x) (cos(2x)+isin(2x))=.... v_2 =∫ (w_2 /w)dx=−(1/2)∫ xe^x sin(2x)dx =−(1/2)Im(∫ xe^(x+2ix) dx) ∫ x e^((1+2i)x) dx =(x/(1+2i))e^((1+2i)x) −∫(1/(1+2i))e^((1+2i)x) dx=.... ⇒y_p =u_1 v_1 +u_2 v_2 and general solution is y=ae^x +be^(−x) +u_1 v_1 +u_2 v_2
$$\mathrm{y}^{''} −\mathrm{y}\:=\mathrm{xsin}\left(\mathrm{2x}\right) \\ $$$$\mathrm{e}\rightarrow\mathrm{r}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{r}=\overset{−} {+}\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{y}=\mathrm{ae}^{\mathrm{x}} \:+\mathrm{be}^{−\mathrm{x}\:} =\mathrm{au}_{\mathrm{1}} +\mathrm{bu}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{w}\left(\mathrm{u}_{\mathrm{1}} ,\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \right)=\begin{vmatrix}{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }\\{\mathrm{e}^{\mathrm{x}\:\:\:\:} \:\:\:\:\:\:−\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }\end{vmatrix}=−\mathrm{2}\neq\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{w}_{\mathrm{1}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{o}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }\\{\mathrm{xsin}\left(\mathrm{2x}\right)\:\:\:\:\:\:\:−\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }\end{vmatrix}=−\mathrm{xe}^{−\mathrm{x}} \mathrm{sin}\left(\mathrm{2x}\right) \\ $$$$\mathrm{w}_{\mathrm{2}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}}\\{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{xsin}\left(\mathrm{2x}\right)}\end{vmatrix}=\mathrm{xe}^{\mathrm{x}} \:\mathrm{sin}\left(\mathrm{2x}\right) \\ $$$$\mathrm{v}_{\mathrm{1}} =\int\:\frac{\mathrm{w}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{w}}\mathrm{dx}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\mathrm{xe}^{−\mathrm{x}} \mathrm{sin}\left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{dx}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{Im}\left(\int\:\mathrm{xe}^{−\mathrm{x}+\mathrm{2ix}} \mathrm{dx}\right) \\ $$$$\int\:\mathrm{xe}^{\left(−\mathrm{1}+\mathrm{2i}\right)\mathrm{x}} \mathrm{dx}\:=\frac{\mathrm{x}}{−\mathrm{1}+\mathrm{2i}}\mathrm{e}^{\left(−\mathrm{1}+\mathrm{2i}\right)\mathrm{x}} −\int\:\:\frac{\mathrm{1}}{−\mathrm{1}+\mathrm{2i}}\mathrm{e}^{\left(−\mathrm{1}+\mathrm{2i}\right)\mathrm{x}} \mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{−\mathrm{x}}{\mathrm{1}−\mathrm{2i}}\mathrm{e}^{\left(−\mathrm{1}+\mathrm{2i}\right)\mathrm{x}} \:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{2i}}×\frac{\mathrm{1}}{−\mathrm{1}+\mathrm{2i}}\mathrm{e}^{\left(−\mathrm{1}+\mathrm{2i}\right)\mathrm{x}} \\ $$$$=\frac{−\mathrm{x}\left(\mathrm{1}+\mathrm{2i}\right)}{\mathrm{5}}\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)+\mathrm{isin}\left(\mathrm{2x}\right)\right)−\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{2i}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)+\mathrm{isin}\left(\mathrm{2x}\right)\right) \\ $$$$ \\ $$$$=\frac{−\mathrm{xe}^{−\mathrm{x}} }{\mathrm{5}}\left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)+\mathrm{isin}\left(\mathrm{2x}\right)+\mathrm{2icos}\left(\mathrm{2x}\right)−\mathrm{2sin}\left(\mathrm{2x}\right)\right) \\ $$$$−\frac{\left(\mathrm{1}+\mathrm{2i}\right)^{\mathrm{2}} }{\mathrm{25}}\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)+\mathrm{isin}\left(\mathrm{2x}\right)\right)=…. \\ $$$$\mathrm{v}_{\mathrm{2}} =\int\:\frac{\mathrm{w}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{w}}\mathrm{dx}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\:\:\mathrm{xe}^{\mathrm{x}} \mathrm{sin}\left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{Im}\left(\int\:\:\mathrm{xe}^{\mathrm{x}+\mathrm{2ix}} \mathrm{dx}\right) \\ $$$$\int\:\mathrm{x}\:\mathrm{e}^{\left(\mathrm{1}+\mathrm{2i}\right)\mathrm{x}} \mathrm{dx}\:=\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{1}+\mathrm{2i}}\mathrm{e}^{\left(\mathrm{1}+\mathrm{2i}\right)\mathrm{x}} −\int\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{2i}}\mathrm{e}^{\left(\mathrm{1}+\mathrm{2i}\right)\mathrm{x}} \mathrm{dx}=…. \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{y}_{\mathrm{p}} =\mathrm{u}_{\mathrm{1}} \mathrm{v}_{\mathrm{1}} +\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \mathrm{v}_{\mathrm{2}} \:\:\:\mathrm{and}\:\mathrm{general}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{is} \\ $$$$\mathrm{y}=\mathrm{ae}^{\mathrm{x}} \:+\mathrm{be}^{−\mathrm{x}} \:+\mathrm{u}_{\mathrm{1}} \mathrm{v}_{\mathrm{1}} \:+\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \mathrm{v}_{\mathrm{2}} \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 06/Jul/21
you can use mvc method but contains alos of calculus the best is wronskien...
$$\mathrm{you}\:\mathrm{can}\:\mathrm{use}\:\mathrm{mvc}\:\mathrm{method}\:\mathrm{but}\:\mathrm{contains}\:\mathrm{alos}\:\mathrm{of}\:\mathrm{calculus} \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{best}\:\mathrm{is}\:\mathrm{wronskien}… \\ $$
Commented by rexford last updated on 06/Jul/21
Please,is there a different way of solving this as in introducing constants as coefficients for the particular solution
$${Please},{is}\:{there}\:{a}\:{different}\:{way}\:{of}\:{solving}\:{this}\:{as}\:{in}\:{introducing}\:{constants}\:{as}\:{coefficients}\:{for}\:{the}\:{particular}\:{solution} \\ $$

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