Question Number 145609 by Khalmohmmad last updated on 06/Jul/21
Commented by imjagoll last updated on 06/Jul/21
![let g(x)=f^(−1) (x) ⇒(g•f)(x)=x ⇒f ′(x).g′(f(x))=1 ⇒g ′(f(x))=(1/(f ′(x))) = (1/(8x^3 +12x^2 +8)) ⇒[f^(−1) (f(x))]′= (1/(8x^3 +12x^2 +8)) f(x)=−3⇒2x^4 +4x^3 +8x+7=−3 ⇒2x^4 +4x^3 +8x+10=0 ⇒x^4 +2x^3 +4x+5=0 ⇒(x+1)(x^3 +x^2 −x+5)=0 ⇒x=−1 thus [f^(−1) (−3)]′= (1/(8(−1)+12(1)+8)) = (1/(12))](https://www.tinkutara.com/question/Q145611.png)
$$\:\mathrm{let}\:\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{x}\right) \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{g}\bullet\mathrm{f}\right)\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{f}\:'\left(\mathrm{x}\right).\mathrm{g}'\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right)=\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{g}\:'\left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{f}\:'\left(\mathrm{x}\right)}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{12x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{8}} \\ $$$$\Rightarrow\left[\mathrm{f}^{−\mathrm{1}} \left(\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\right)\right]'=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{12x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{8}} \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=−\mathrm{3}\Rightarrow\mathrm{2x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{4x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{8x}+\mathrm{7}=−\mathrm{3} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{4x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{8x}+\mathrm{10}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{2x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{4x}+\mathrm{5}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{5}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{x}=−\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{thus}\:\left[\mathrm{f}^{−\mathrm{1}} \left(−\mathrm{3}\right)\right]'=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}\left(−\mathrm{1}\right)+\mathrm{12}\left(\mathrm{1}\right)+\mathrm{8}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{12}} \\ $$
Answered by gsk2684 last updated on 06/Jul/21
$${f}\left({x}\right)=\mathrm{2}{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{4}{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{8}{x}+\mathrm{7} \\ $$$${f}\left({x}\right)=−\mathrm{3}\Rightarrow\mathrm{2}{x}^{\mathrm{4}} +\mathrm{4}{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{8}{x}+\mathrm{10}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2}\left({x}+\mathrm{1}\right)\left({x}^{\mathrm{3}} +{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{5}\right)=\mathrm{0} \\ $$$${f}^{−\mathrm{1}} \left(−\mathrm{3}\right)=−\mathrm{1} \\ $$$${and}\:{f}^{\shortmid} \left({x}\right)=\mathrm{8}{x}^{\mathrm{3}} +\mathrm{12}{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{8} \\ $$$${f}\left({f}^{−\mathrm{1}} \left({x}\right)\right)={x} \\ $$$${f}^{ } \left({f}^{−\mathrm{1}} \left({x}\right)\right)\left({f}^{−\mathrm{1}} \left({x}\right)\right)^{ } =\mathrm{1} \\ $$$$\left({f}^{−\mathrm{1}} \left({x}\right)\right)^{ } =\frac{\mathrm{1}}{{f}^{ } \left({f}^{−\mathrm{1}} \left({x}\right)\right)} \\ $$$$\left({f}^{−\mathrm{1}} \left(−\mathrm{3}\right)\right)^{ } =\frac{\mathrm{1}}{{f}^{ } \left({f}^{−\mathrm{1}} \left(−\mathrm{3}\right)\right)}=\frac{\mathrm{1}}{{f}^{ } \left(−\mathrm{1}\right)} \\ $$$$ \\ $$